ЛІНІЙНА ФУНКЦІЯ. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ, НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ СИСТЕМИ

     Лінійним рівнянням з однією змінною називають рівняння виду $ax = b$, де х – змінна, а і b – числа.

     Якщо а≠0, то рівняння $ax = b$ має єдиний корінь $\frac{b}{a}$.

    Наприклад: рівняння 5х=6 має корінь х=1,2.

     Якщо а=0, b≠0, то рівняння $ax = b$ не має коренів.

    Наприклад: рівняння 0х=5 не має коренів.

     Якщо а=0, b=0, то коренем рівняння $ax = b$ є будь-яке число.

     Деякі рівняння зводяться до розв’язування лінійних рівнянь. Розглянемо приклади.

    Приклад 1. Розв’яжіть рівняння $2 - \frac{{3x - 4}}{4} + \frac{{x + 18}}{5} = 0$.

Розв’язання

     Щоб позбутися знаменників дробів, помножимо кожний член рівняння на найменший спільний знаменник дробів, тобто на 20, і отримаємо:

$2 \cdot 20 - \frac{{3x - 4}}{4} \cdot \frac{{20}}{1} + \frac{{x + 18}}{5} \cdot \frac{{20}}{1} = 0 \cdot 20$,

40-5(3х-4)+4(х+18)=0.

     Розкриємо дужки:

40-15х+20+4х+72=0.

     Залишимо члени зі змінними в лівій частині рівняння, а члени без змінних перенесемо в праву частину (змінивши знаки членів на протилежні):

-15х+4х=-40-20-72.

     Зведемо подібні доданки:

-11х=-132, звідси х=-132:(-11), х=12.

     Відповідь: 12.

    Приклад 2. Розв’яжіть рівняння (2х-6)(х+2)=0.

Розв’язання

     Якщо добуток кількох множників дорівнює нулю, то хоча б один із множників дорівнює нулю. Скористаємося цим фактом при розв’язуванні даного рівняння.

     Ліва частина рівняння – добуток невідомих множників 2х-6 і х+2, а права частина – нуль. Щоб розв’язати це рівняння, досить прирівняти до нуля множники 2х-6 і х+2 та розв’язати отримані рівняння. Отже, 2х-6=0 або х+2=0, тоді 2х-6=0, 2х=6, х=6:2, х=3 або х+2=0, х=-2.

     Відповідь: 3, -2.

    Приклад 3. Розв’яжіть рівняння $|2x + 3| = 1$.

Розв’язання

     Згадаймо значення модуля:

$|x| = \left\{ \begin{array}{l}x,\;x \ge 0,\\ - x,\;x < 0.\end{array} \right.$

     Із точки зору геометрії |х| означає відстань від точки х, зображеної на координатній прямій, до початку координат (точки 0).

     1-й спосіб.

     Якщо 2х+3<0, то за означенням модуля –(2х+3)=1, тоді 2х+3=-1,  2х=-3-1,  2х=-4, х=-2.

     Якщо 2х+3≥0, то за означенням модуля 2х+3=1, тоді 2х+3=1, 2х=-3+1, 2х=-2, х=-1.

     Відповідь: -1; -2.

     2-й спосіб.

     Ураховуючи геометричний зміст модуля, рівність |2х+3|=1 означає, що відстань від точки 2х+3 до початку координат дорівнює числу 1, тобто

1) 2х+3=-1, 2х=-3-1, 2х=-4, х=-2;

2) 2х+3=1, 2х=-3+1, 2х=-2, х=-1.

     Відповідь: -1; -2.