ЛІНІЙНА ФУНКЦІЯ. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ, НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ СИСТЕМИ

     Нерівності виду $ax > b,\;ax < b,\;ax \ge b,\;ax \le b$ - деякі числа, а х – змінна, називають лінійними нерівностями з однією змінною.

     Розглянемо нерівність ax>b.

1. Якщо а>0, то $x > \frac{b}{a}$. Наприклад: 3х>6, х>2.

2. Якщо а<0, то $x < \frac{b}{a}$. Наприклад: -2х>4, х<-2.

3. Якщо а=0, b<0, то розв’язком нерівності є множина всіх дійсних чисел R. Наприклад: 0х>-5, $x \in R$.

4. Якщо а=0, b>0, то нерівність розв’язків не має. Наприклад: 0х>5 не має розв’язків.

     Розглянемо нерівність ax<b.

1. Якщо а>0, то $x < \frac{b}{a}$. Наприклад: $\frac{1}{2}x < 6,x < 12$.

2. Якщо а<0, то $x > \frac{b}{a}$. Наприклад: $- \frac{1}{2}x < 6,x >  - 12$.

3. Якщо а=0, b<0, то нерівність розв’язків не має. Наприклад: 0х<-5 розв’язків не має.

4. Якщо а=0, b>0, то розв’язком нерівності є множина всіх дійсних чисел R. Наприклад: нерівність 0х<5, $x \in R$.

     У рівнянні, крім невідомого, яке потрібно знайти, можуть бути введені й інші букви.

    Наприклад: ах=3-а, (n+2)x=2+(n+2).

     Розгляньмо рівняння ах=3-а, яке залежно від змінної а матиме вигляд:

2х=3-2, якщо а=2;

0х=3-0, якщо а=0;

3х=3-3, якщо а=3 і т.д.

     Змінну, яку потрібно знайти, будемо називати невідомою, іншу змінну – параметром.

     Розв’язати рівняння з параметром означає, що для кожного значення параметра треба встановити, чи має рівняння розв’язки, і якщо має, то знайти ці розв’язки, що, як правило, залежать від параметра. Розглянемо приклади.

    Приклад 4. Розв’яжіть рівняння х+5=а+6 відносно х.

Розв’язання

     Перетворивши рівняння, отримаємо: х=а+1.

     Рівняння має єдиний розв’язок незалежно від значення параметра.

     Отже, х=а+1.

     Відповідь: а+1.

    Приклад 5. Розв’яжіть рівняння (а-1)х=3 відносно х.

Розв’язання

     Якщо а-1≠0, тобто а≠1, то рівняння має єдиний корінь $x = \frac{3}{{a - 1}}$.

     Якщо а-1=0, тобто а=1, то рівняння набуває вигляду 0х=3 і не має коренів.

     Відповідь: при а≠1 дане рівняння має єдиний корінь $x = \frac{3}{{a - 1}}$, а при а=1 – коренів не має.

    Приклад 6. Розв’яжіть нерівність $x - \frac{{x + 3}}{2} \ge \frac{{2x - 1}}{4}$.

Розв’язання

     Помножимо обидві частини нерівності на 4:

$4x - \frac{{x + 3}}{2} \cdot \frac{4}{1} \ge \frac{{2x - 1}}{4} \cdot \frac{4}{1}$,

4х-2(х+3)≥2х-1.

     Розкриємо дужки в лівій частині: 4х-2х-6≥2х-1. Перенесемо члени нерівності зі змінними в ліву частину нерівності, а члени без змінних – у праву частину (змінивши знаки членів, які переносимо, на протилежні): 4х-2х-2х≥-1+6, звідси маємо 0х≥5. Отже, дана нерівність розв’язків не має.

     Відповідь: нерівність розв’язків немає.