ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ. АРИФМЕТИЧНА ТА ГЕОМЕТРИЧНА ПОСЛІДОВНОСТІ

     Арифметичною прогресією називають послідовність ${a_1},{a_2},...{a_n},...$, кожен член якої,починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається одне й те саме число d, яке називають різницею арифметичної прогресії:

${a_{n + 1}} = {a_n} + d,n \in N$.

    Наприклад: 1, 2, 3, 4,…, n,… - арифметична прогресія, у якій ${a_1} = 1$, d=1; 2, 4, 6,…, 2n,… - арифметична прогресія, у якій ${a_1} = 2$, d=2.

     Визначається n-й член арифметичної прогресії за формулою

${a_n} = {a_1} + d(n - 1)$,

де n – номер члена, ${a_n}$ - n-й член, ${a_1}$ - перший член, d – різниця прогресії.

     Кожний член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх членів:

${a_n} = \frac{{{a_{n - 1}} + {a_{n + 1}}}}{2}$.

     Якщо всі члени деякої числової послідовності, починаючи з другого, задовольняють умові ${a_n} = \frac{{{a_{n - 1}} + {a_{n + 1}}}}{2}$, то ця послідовність є арифметичною прогресією.

     Сума перших n членів арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному першого і n-го членів цієї прогресії, помноженому на їх кількість:

${S_n} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n} = \frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} \cdot n$.

     Суму перших n членів арифметичної прогресії можна знайти і за формулою

${S_n} = \frac{{2{a_1} + d(n - 1)}}{2} \cdot n$.