ТОТОЖНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ВИРАЗІВ

${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1,\alpha \in R;tg\,\alpha \cdot ctg\,\alpha = 1,\alpha \ne \frac{{\pi n}}{2},n \in Z;$

$1 + t{g^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }},\alpha \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z;1 + ct{g^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }},\alpha \ne \pi n,n \in Z.$

    Приклад 1. Знайдіть cos α, tg α, ctg α, якщо $\sin \alpha = - \frac{4}{5},\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$.

Розв’язання

     Оскільки ${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha$, то

$\cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \pm \sqrt {1 - {{( - \frac{4}{5})}^2}} = \pm \sqrt {1 - \frac{{16}}{{25}}} = \pm \sqrt {\frac{9}{{25}}} = \pm \frac{3}{5}$.

     Оскільки кут α лежить у ІІІ координатній чверті, то cos α<0.

     Отже, $\cos \alpha = - \frac{3}{5}$.

$tg\,\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \frac{4}{5}:( - \frac{3}{5}) = \frac{{4 \cdot 5}}{{5 \cdot 3}} = \frac{4}{3}$; $ctg\,\alpha = \frac{1}{{tg\,\alpha }} = \frac{3}{4}$.

     Відповідь: $- \frac{3}{5};\frac{4}{3};\frac{3}{4}$.