Приклади розв'язування завдань

     Завдання. Розв’яжіть нерівність $\sqrt {(x + 2)(x - 5)} < 8 - x$.

Розв’язання

     Приведемо нерівність до вигляду $\sqrt {(x + 2)(x - 5)} - 8 + x < 0$.

     Уведемо функцію $y = \sqrt {(x + 2)(x - 5)} - 8 + x$ і знайдемо х, при яких у<0. Для цього:

1)               знайдемо область визначення функції:

$(x + 2)(x - 5) \ge 0;\;D(y) = ( - \infty ; - 2] \cup [5; + \infty )$;

2)               знайдемо нулі функції:

$\sqrt {(x + 2)(x - 5)} - 8 + x = 0,\;\sqrt {(x + 2)(x - 5)} = 8 - x$,

$(x + 2)(x - 5) = 64 - 16x + {x^2},\;{x^2} - 3x - 10 = 64 - 16x + {x^2}$,

$13x = 74,\;x = 5\frac{9}{{13}}$.

3)               наносимо нуль функції на область її визначення. Знаходимо знак функції на кожному з трьох інтервалів, на які розбивається область визначення нулем функції, і записуємо відповідь.

$f( - 3) = \sqrt {( - 3 + 2)( - 3 - 5)} - 8 - 3 = \sqrt 8 - 8 - 3 < 0$,

$f(5,5) = \sqrt {(5,5 + 2)(5,5 - 5)} - 8 + 5,5 = \sqrt {3,75} - 2,5 < 0$,

$f(6) = \sqrt {(6 + 2)(6 - 5)} - 8 + 6 = \sqrt 8 - 2 > 0$.

     Відповідь: $( - \infty ; - 2] \cup [5;5\frac{9}{{13}})$.