Похідна функції, її геометричний та механічний зміст

     Нехай задано функцію y=f(x) на деякому проміжку. Візьмемо довільну внутрішню точку x₀ цього проміжку, надамо значенню х₀ довільного приросту Δx (число Δх може бути як додатним, так і від’ємним), але такого, щоб точка х₀+Δх належала даному проміжку.

     Тоді

1)               обчислимо в точці х₀ приріст Δу=Δf(х₀) функції:

$\Delta y = \Delta f({x_0}) = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})$;

2)               складемо відношення $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{\Delta f({x_0})}}{{\Delta x}} = \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}$;

3)               знайдемо границю цього відношення за умови, що Δх→0, тобто:

$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta f({x_0})}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}.$

     Якщо дана границя існує, то її називають похідною функції y=f(x) у точці х₀ і позначають $f'({x_0})$ або $y'$.

     Похідною функції y=f(x) у точці х₀ називають границю відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує, тобто

$f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}$.

      Із другого прикладу можна зробити висновок, що похідна лінійної функції – стала величина, яка дорівнює кутовому коефіцієнту прямої. Якщо у формулі $(kx + b)' = k$ покласти k=0, b=C, де С – довільна стала, то одержимо, що $C' = 0$, тобто похідна сталої дорівнює нулю.

     Якщо у формулі $(kx + b)' = k$ покласти k=1, b=0, то одержимо $x' = 1$.

     Функцію, яка має похідну в точці х₀, називають диференційованою в цій точці. Функцію, яка має похідну в кожній точці деякого проміжку, називають диференційованою на цьому проміжку. Операція знаходження похідної називається диференціюванням.

     Нехай D₁ – множина точок, у яких функція y=f(x) диференційована. Якщо кожному $x \in {D_1}$ поставити у відповідність число $f'(x)$, то одержимо нову функцію з областю визначення D₁. Цю функцію позначають $f'$:

$f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}}$.