Приклади розв'язування завдань

     Завдання. Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої синусоїдою y=sin x та прямими $x = 0$ і $x = \frac{\pi }{2}$.

Розв’язання

$V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}xdx} = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 - \cos (2x)}}{2}dx = \frac{\pi }{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {(1 - \cos (2x))dx} } =$

$= \frac{\pi }{2}(x - \frac{1}{2}\sin (2x))|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{\pi }{2}(\frac{\pi }{2} - \frac{1}{2}\sin \pi ) - \frac{\pi }{2}(0 - \frac{1}{2}\sin 0) = \frac{{{\pi ^2}}}{4}$.

Відповідь: $\frac{{{\pi ^2}}}{4}$.