НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА ТА ДІЇ НАД НИМИ

1. Натуральні числа

Натуральні числа ― це числа, що використовуються для лічби: 1, 2, 3, …, n, … . Множину натуральних чисел позначають символом ℕ. ℕ = {1, 2, 3, …}.

Будь-яке натуральне число n у десятковій системі числення можна подати у вигляді

де   можуть набувати значення 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а число ― значення 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиційний запис цього числа має вигляд

.

Наприклад:

;

.

2. Порівняння натуральних чисел

Із двох натуральних чисел більшим (меншим) є те число, яке при лічбі з’являється пізніше (раніше).

Наприклад: 17 < 20; 129 > 120.

Найменшим натуральним числом є 1. Найбільшого натурального числа не існує.

Із двох натуральних чисел із різною кількістю цифр більшим є те, яке позначене більшою кількістю цифр. Якщо два натуральних числа мають однакову кількість цифр, то більшим є те число, в якому більше одиниць у найвищому розряді. Якщо кількість одиниць у цьому розряді однакова, то порівнюються розряди, що на ступінь нижче і т.д.

Наприклад: 10256 > 989; 10256 < 10356.

Правила запам'ятовування знаків «>» і «<»

- Подумки провести риску через нижню частину знака « >» або « <». У першому випадку дістанемо знак, подібний до числа 7, а в другому — до числа 4. Оскільки 7 >4, то знак « >» означає «більше», а знак « <» — «менше».

- Знаки « >» і « <» подібні до стріл, «якими більше число заколює
менше».

3. Округлення натуральних чисел

Щоб округлити натуральне число до певного розряду, треба:

1) замінити нулями всі цифри, що стоять після цього розряду;

2) якщо наступна за цим розрядом цифра була 5, 6, 7, 8 або 9, то цифру розряду, до якого виконується округлення, збільшити на одиницю;

3) якщо наступна за цим розрядом цифра була 0, 1, 2, 3 або 4, то цифру розряду, до якого виконується округлення, залишити без змін.

Наприклад: числа 125 128, 59 393 округлені до десятків, до сотень відповід-но дорівнюють 125 130, 59 390 і 125 100, 59 400, тобто 125 128 ≈ 125 130, 59 393 ≈ ≈ 59 390, 125 128 ≈ 125 100, 59 393 ≈ 59 400.

Нагадаємо розряди натурального числа: сотні мільярдів, десятки мільярдів, одиниці мільярдів, сотні мільйонів, десятки мільйонів, одиниці мільйонів, сотні тисяч, десятки тисяч, одиниці тисяч, сотні, десяті, одиниці.

4. Дії над натуральними числами

Додавання натуральних чисел

Наприклад: 5 + 3 = 5 + 1 + 1 + 1 = 8.

Додавання багатоцифрових натуральних чисел виконується порозрядно (додавання одноцифрових чисел кожного стовпчика, починаючи з правого стовпчика).

Наприклад:

362 + 473 = 835;

Віднімання натуральних чисел

Відняти від числа a число b означає знайти таке число с, що a = b + с.

Наприклад: 10 – 3 = 10 – 1 – 1 – 1 = 7.

Віднімання багатоцифрових натуральних чисел виконується порозрядно (віднімання одноцифрових чисел кожного стовпчика, починаючи з правого стовпчика).

Множення натуральних чисел

Наприклад: 2 ˑ 3 = 2 + 2 + 2 = 6.

Множення багатоцифрових натуральних чисел виконується «у стовпчик».

Наприклад: 459ˑ275=126225.

Ділення натуральних чисел

Розділити число a на число b означає знайти таке число с, що a = b ˑ с.

Натуральне число a розділити на натуральне число b означає підрахувати, скільки разів треба відняти число b від числа a, щоб одержати нуль.

Наприклад: 6 : 3 = 2, бо 6 – 3 – 3 = 0.

Ділення натуральних чисел з остачею

Якщо a ― ділене, b ― дільник і a = bс + r, де b > r, то говорять, що при діленні числа a на число b маємо неповну частку с та остачу r:

.

Наприклад: 10 : 4 = 2 (остача 2), 10 = 4 · 2 + 2.

Ділення багатоцифрових чисел виконується «кутом».

Наприклад:

113 сотень: 28 = 4 сотні (остача 1 сотня);

19 десятків: 28 = 0 десятків (остача 19 десятків);

196 : 28 = 7.

5. Подільність натуральних чисел

Натуральне число a ділиться на натуральне число b націло , якщо існує натуральне число с таке, що a = b · с.

Наприклад: .

Якщо , то b ― дільник a, a ― кратне b.

Властивості подільності:

Якщо .

Якщо , то .

Якщо , то .

Якщо , то .

Якщо , то .

Якщо , то .

Якщо , то .

Якщо , то .

Якщо , то .

6. Ознаки подільності натуральних чисел

На 2: Натуральне число ділиться на 2 тоді і тільки тоді, коли його остання цифра ділиться на 2.

На 3: Натуральне число ділиться на 3 тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 3.

На 4: Натуральне число ділиться на 4, якщо дві його останні цифри утворюють число, що ділиться на 4, або дві його останні цифри ― нулі.

На 5: Натуральне число ділиться на 5 тоді і тільки тоді, коли його остання цифра або 0, або 5.

На 6: Натуральне число ділиться на 6 тоді і тільки тоді, коли воно ділиться на 2 і на 3.

На 8: Число ділиться на 8 тоді і тільки тоді, коли число, утворене його трьома останніми цифрами ділиться на 8.

На 9: Натуральне число ділиться на 9 тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 9.

На 10: Натуральне число ділиться на 10 тоді і тільки тоді, коли його остання цифра 0.

7. НСД, НСК, взаємно прості, прості та складені числа

Найбільшим спільним дільником чисел a і b називається найбільше число, на яке ділиться і число a, і число b. Позначення ― НСД (a;b).

Наприклад: НСД (5;15) = 5, НСД (15; 9) = 3.

Найменшим спільним кратним чисел a і b називається найменше число, на яке ділиться і число a, і число b. Позначення ― НСК (a; b).

Наприклад: НСК (5; 15) = 15, НСД (15; 9) = 45.

НСК (a; b)·НСД (a; b) = a · b.

Числа a і b називаються взаємно простими, якщо НСД (a; b) = 1.

Наприклад: числа 3 і 5 взаємно прості, бо НСД (3; 5) = 1.

Прості числа ― натуральні числа, які мають рівно два різних дільники (одиницю і саме число).  

Наприклад: 2; 3; 5; 7; 11; 13;… ― прості числа.

Складені числа ― натуральні числа, які мають більше двох дільників.

Наприклад: 4; 6; 9; 10;… ― складені числа.

Будь-яке складене число n можна розкласти на прості множники, тобто подати його у вигляді

,

де ― прості числа, а  ― натуральні числа.

Наприклад: .