ЗВИЧАЙНІ ДРОБИ, МІШАНІ ЧИСЛА ТА ДІЇ НАД НИМИ

1. Звичайні дроби та мішані числа

Звичайним дробом називається вираз , де . Число a називається чисельником, а число b - знаменником. Дробова риска означає знак ділення. Знаменник дробу показує, наскільки рівних частин ділиться число (величина), чисельник – скільки таких частин узято.

Наприклад, дріб   показує, що якусь величину розділили на 8 рівних частин і взяли три таких частини. 3 - чисельник, 8 - знаменник .

Дріб називається правильним, якщо чисельник менший за  знаменник.

Дріб називається неправильним, якщо чисельник дорівнює знаменнику або більший за нього.

Наприклад, дроби  – правильні; дроби  - неправильні.

Мішаним числом називається сума натурального числа і правильного дробу, записана без знака «+».

Наприклад, число  – мішане, 1 - ціла частина мішаного числа, а  – дробова частина мішаного числа.

2. Виділення цілої частини з неправильного дробу. Перетворення мішаного числа в неправильний дріб

Щоб із неправильного дробу виділити цілу частину, треба розділити з остачею чисельник на знаменник: неповна частка буде цілою частиною, остача – чисельником, а знаменник – той самий.

Наприклад: .

Щоб подати мішане число у вигляді неправильного дробу, треба помножити його цілу частину на знаменник дробової частини; до одержаного добутку додати чисельник дробової частини і записати суму чисельником, а знаменник залишити той самий.

Наприклад: .

Основна властивість дробу: якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на одне і те саме число, відмінне від нуля, то одержимо дріб, який дорівнює даному.

Наприклад: .

Основна властивість дробу

Скорочення дробу – ділення чисельника і знаменника дробу на спільний дільник чисельника і знаменника дробу, більший за 1.

Наприклад: .

3. Порівняння дробів та мішаних чисел

Із двох дробів із рівними знаменниками більший (менший) той дріб, у якого чисельник більший (менший).

Наприклад: .

Щоб порівняти дроби з різними знаменниками, треба їх звести до спільного знаменника, а потім порівняти.

Наприклад: ,оскільки .

Із двох мішаних чисел з однаковими цілими частина більше те число, дробова частина якого більша. Із двох мішаних чисел із різними цілими частинами більше те, ціла частина якого більша.

Наприклад: .

4. Додавання звичайних дробів та мішаних чисел

Щоб додати дроби з однаковими знаменниками, треба додати їх чисельники і суму записати в чисельник, а знаменник залишити без змін.

Додавання дробів із рівними знаменниками: .

Наприклад: .

Щоб додати дроби з різними знаменниками, потрібно:

1) звести дроби до найменшого спільного знаменника;
2) додати одержані дроби з однаковими знаменниками.

Додавання дробів із різними знаменниками: , якщо НСД(b,d)=1. 

Наприклад: .

, де m=НСК(b;d), .

Наприклад: .

Сумою двох мішаних чисел є мішане число, ціла частина якого є сумою цілих частин доданків, а дробова частина є сумою дробових частин доданків.

Якщо в результаті додавання одержимо мішане число, дробова частина якого є неправильним дробом, треба виділити з неї цілу частину і додати її до цілої частини мішаного числа.

Наприклад: .

5. Віднімання звичайних дробів та мішаних чисел

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба відняти їх чисельники і різницю записати в чисельник, а знаменник залишити без змін.

Віднімання дробів із рівними знаменниками: .

Наприклад:  .

Щоб відняти дроби з різними знаменниками, потрібно:

1) звести дроби до найменшого спільного знаменника;
2) відняти одержані дроби з однаковими знаменниками.

При відніманні звичайних дробів чисельник зменшуваного повинен бути більшим за чисельник від’ємника.

Віднімання дробів із різними знаменниками: , якщо НСД(b,d)=1.

Наприклад: .

, де m=НСК(b;d), .

Наприклад: .

Щоб від одиниці відняти звичайний дріб, треба одиницю подати у вигляді неправильного дробу з однаковими чисельником і знаменником, що дорівнюють знаменнику від’ємника, і виконати віднімання.

Різницею двох мішаних чисел є мішане число, ціла частина якого є різницею цілих частин зменшуваного і від’ємника, а дробова частина є різницею дробових частин зменшуваного і від’ємника.

Наприклад: .

6. Множення звичайних дробів

Добутком двох звичайних дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників цих дробів, а знаменник - добутку їх знаменників.

Наприклад: .

Наприклад: .

Щоб знайти дріб від числа, потрібно число помножити на цей дріб.

Два числа, добуток яких дорівнює 1, називають взаємно оберниними.

7. Ділення дробів

Щоб поділити один дріб на інший, досить ділене помножити на число, обернене до дільника.

Наприклад: .

Наприклад: .

Наприклад: .

Щоб знайти число за даним значенням його дробу, досить це значення поділити на дріб.