РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА ТА ДІЇ НАД НИМИ

     Цілими числами називають натуральні числа, їм протилежні числа і число 0. Множину цілих чисел позначають символом Z. Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

     Будь яке ціле число а можна представити у вигляді дробу:

$a = \frac{{an}}{n},n \in N,a \in Z$.

    Наприклад: $10 = \frac{{10}}{1} = \frac{{20}}{2} = \frac{{30}}{3} = ...$

     Раціональні числа – числа, які можна подати у вигляді . Множину раціональних чисел позначають символом Q.

    Наприклад: $- 1;\frac{1}{3}; - 2\frac{1}{3};0$ - раціональні числа.

     Будь-яке раціональне число – нескінченний періодичний десятковий дріб.

     Нескінченний періодичний десятковий дріб – десятковий дріб, у якому нескінченно повторюється певна група цифр. Мінімальна група цифр, яка повторюється, називається періодом. Період записується в круглих дужках.

    Наприклад: $\frac{1}{3} = 0,333... = 0,(3);3,060606... = 3,(06);\frac{8}{9} = 0,3111... = 0,3(1)$.

     Якщо період починається відразу після коми, то дріб називається чисто періодичним. Якщо ж період починається не відразу після коми, то дріб називається змішаним періодичним.

Перетворення нескінченного десяткового

періодичного дробу у звичайний

     Чисто періодичний десятковий дріб дорівнює звичайному дробу, чисельник якого є період, а знаменник – цифра 9, що записана стільки разів, скільки цифр у періоді.

    Наприклад: $0,(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3};0,(81) = \frac{{81}}{{99}} = \frac{9}{{11}}$.

     Для того щоб перетворити змішаний нескінченний періодичний дріб на звичайний, треба від числа, що стоїть до другого періоду, відняти число, що стоїть до першого періоду. Потім записати цю різницю чисельником, а в знаменнику записати цифру 9 стільки разів, скільки цифр у періоді, а після дев’яток дописати стільки нулів, скільки цифр стоїть між комою і першим періодом.

    Наприклад: $0,11(7) = \frac{{117 - 11}}{{900}} = \frac{{106}}{{900}} = \frac{{53}}{{450}}$.

     Властивості додавання:

a+b=b+a (переставна)

(a+b)+с=a+(b+с) (сполучна)

a+0=a; a+(-a)=0

     Властивості віднімання:

a-(b+с)=a-b-с

(a+b)-с=(a-с)+b

a-0=a

     Властивості множення:

a·b=b·a (переставна)

(a·b)·с=a·(b·с) (сполучна)

(a+b)·с=a·с+b·с (розподільна властивість множення відносно додавання)

(a-b)·с=a·с-b·с (розподільна властивість множення відносно віднімання)

a·1=a; a·0=0

$a \cdot \frac{1}{a} = 1$, якщо $a \ne 0$.

     Властивості ділення:

a:1=a; a:a=1, a≠0; 0:a=0, a≠0.

    На нуль ділити не можна!

Пропорції

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ або $a:b = c:d$, a,d – крайні члени, b,c – середні члени.

     Пропорція $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ рівносильна рівностям:

ad=bc,

$\frac{a}{c} = \frac{b}{d};\frac{d}{b} = \frac{c}{a};\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$.

Похідні пропорції

     Якщо $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ і db≠0, то:

$\frac{{a + b}}{b} = \frac{{c + d}}{d};\frac{{a - b}}{b} = \frac{{c - d}}{d};$

$\frac{a}{{a + b}} = \frac{c}{{c + d}};\frac{a}{{a - b}} = \frac{c}{{c - d}};$

$\frac{{a + b}}{{a - d}} = \frac{{c + d}}{{c - d}}.$