Друкувати книгуДрукувати книгу

СТЕПІНЬ ІЗ НАТУРАЛЬНИМ І ЦІЛИМ ПОКАЗНИКОМ

Степінь із натуральним і цілим показником

Сайт: Підготовка до ЗНО - Освітній портал "Академія"
Курс: Підготовка до ЗНО з математики. Алгебра.
Книга: СТЕПІНЬ ІЗ НАТУРАЛЬНИМ І ЦІЛИМ ПОКАЗНИКОМ
Надруковано: Гість
Дата: Friday 29 March 2024 12:21 PM

1. Степінь із натуральним показником та його властивості

     Степенем числа а з натуральним показником n, більшим за одиницю, називають добуток n множників, кожний із яких дорівнює а:

{a^n} = \underbrace {a \cdot a \cdot ... \cdot a}_n,a \in R,n \in N,n \ge 2.

     Першим степенем числа називають саме число: {a^1} = a.

    Наприклад: {5^1} = 5,{( - 2)^3} = - 2 \cdot ( - 2) \cdot ( - 2) = - 8.

{3^4} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81;{o^n} = 0,n \in N.

{1^n} = 1,n \in N.

     У записі {a^n} = b число а називається основою степеня, n – показником степеня, {a^n} - степенем, b – значенням степеня.

Властивості степенів

     1. При множенні степенів із рівними основами основа залишається такою самою, а показники степенів додаються:

{a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}}.

     2. При діленні степенів із рівними основами основа залишається такою самою, а показники віднімаються:

{a^m}:{a^n} = {a^{m - n}} або \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}.

     3. При піднесенні степеня до степеня основа залишається такою самою, а показники перемножуються:

{({a^m})^n} = {a^{mn}}.

     4. При піднесенні до степеня добутку до цього степеня підноситься кожний множник:

{(ab)^n} = {a^n}{b^n}.

     5. При піднесенні до степеня дробу до цього степеня підносяться чисельник і знаменник:

{(\frac{a}{b})^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}.

     Піднесення до степеня вважається арифметичною дією третього ступеня. Якщо вираз містить різні арифметичні дії, то спочатку виконується піднесення до степеня як дія вищого (третього) ступеня, потім множення і ділення (дії другого ступеня) і, нарешті, додавання і віднімання (дії першого ступеня).

    Наприклад: 5 \cdot {2^3} - 62:12 = 5 \cdot 8 - 36:12 = 40 - 3 = 37.

2. Степінь із цілим показником та його властивості

     Нульовий степінь числа, відмінного від нуля, дорівнює одиниці. Нульовий степінь нуля не визначений.

{a^0} = 1,a \ne {0,0^0} - не визначений.

     Якщо a \ne 0 і n \in N, то {a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}. Вираз {0^{ - n}}, де n \in N - не визначений.

    Наприклад: {2^{ - 3}} = \frac{1}{{{2^3}}} = \frac{1}{8},{( - 3)^{ - 3}} = \frac{1}{{{{( - 3)}^3}}} = - \frac{1}{{27}}.

     Для степенів із цілими показниками характерні ті ж властивості, що й для степенів із натуральними показниками:

1. {a^n} \cdot {a^m} = {a^{n + m}};

2. {a^n}:{a^m} = {a^{n - m}};

3. {({a^m})^n} = {a^{mn}};

4. {(ab)^n} = {a^n}{b^n};

5. {(\frac{a}{b})^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}.

6. При піднесенні дробу до степеня з від’ємним показником можна піднести обернений дріб до степеня з протилежним показником:

{(\frac{a}{b})^{ - n}} = {(\frac{b}{a})^n}.

3. Стандартний вигляд числа

     Стандартним виглядом числом а називають такий його запис: a \cdot {10^n}, де 1 \le a < 10 і n \in Z.

     Число n називають порядком числа.

    Наприклад, число а=125 000 записують у стандартному вигляді так:

a = 1,25 \cdot {10^5},

 а число а= 0, 000508 так: a = 5,08 \cdot {10^{ - 4}}.