СТЕПІНЬ ІЗ НАТУРАЛЬНИМ І ЦІЛИМ ПОКАЗНИКОМ

     Степенем числа а з натуральним показником n, більшим за одиницю, називають добуток n множників, кожний із яких дорівнює а:

${a^n} = \underbrace {a \cdot a \cdot ... \cdot a}_n,a \in R,n \in N,n \ge 2$.

     Першим степенем числа називають саме число: ${a^1} = a$.

    Наприклад: ${5^1} = 5,{( - 2)^3} = - 2 \cdot ( - 2) \cdot ( - 2) = - 8$.

${3^4} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81;{o^n} = 0,n \in N$.

${1^n} = 1,n \in N$.

     У записі ${a^n} = b$ число а називається основою степеня, n – показником степеня, ${a^n}$ - степенем, b – значенням степеня.

Властивості степенів

     1. При множенні степенів із рівними основами основа залишається такою самою, а показники степенів додаються:

${a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}}$.

     2. При діленні степенів із рівними основами основа залишається такою самою, а показники віднімаються:

${a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}$ або $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}$.

     3. При піднесенні степеня до степеня основа залишається такою самою, а показники перемножуються:

${({a^m})^n} = {a^{mn}}$.

     4. При піднесенні до степеня добутку до цього степеня підноситься кожний множник:

${(ab)^n} = {a^n}{b^n}$.

     5. При піднесенні до степеня дробу до цього степеня підносяться чисельник і знаменник:

${(\frac{a}{b})^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}$.

     Піднесення до степеня вважається арифметичною дією третього ступеня. Якщо вираз містить різні арифметичні дії, то спочатку виконується піднесення до степеня як дія вищого (третього) ступеня, потім множення і ділення (дії другого ступеня) і, нарешті, додавання і віднімання (дії першого ступеня).

    Наприклад: $5 \cdot {2^3} - 62:12 = 5 \cdot 8 - 36:12 = 40 - 3 = 37$.

     Нульовий степінь числа, відмінного від нуля, дорівнює одиниці. Нульовий степінь нуля не визначений.

${a^0} = 1,a \ne {0,0^0}$ - не визначений.

     Якщо $a \ne 0$ і $n \in N$, то ${a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}$. Вираз ${0^{ - n}}$, де $n \in N$ - не визначений.

    Наприклад: ${2^{ - 3}} = \frac{1}{{{2^3}}} = \frac{1}{8},{( - 3)^{ - 3}} = \frac{1}{{{{( - 3)}^3}}} = - \frac{1}{{27}}$.

     Для степенів із цілими показниками характерні ті ж властивості, що й для степенів із натуральними показниками:

1. ${a^n} \cdot {a^m} = {a^{n + m}}$;

2. ${a^n}:{a^m} = {a^{n - m}}$;

3. ${({a^m})^n} = {a^{mn}}$;

4. ${(ab)^n} = {a^n}{b^n}$;

5. ${(\frac{a}{b})^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}$.

6. При піднесенні дробу до степеня з від’ємним показником можна піднести обернений дріб до степеня з протилежним показником:

${(\frac{a}{b})^{ - n}} = {(\frac{b}{a})^n}$.

     Стандартним виглядом числом а називають такий його запис: $a \cdot {10^n}$, де $1 \le a < 10$ і $n \in Z$.

     Число n називають порядком числа.

    Наприклад, число а=125 000 записують у стандартному вигляді так:

$a = 1,25 \cdot {10^5}$,

 а число а= 0, 000508 так: $a = 5,08 \cdot {10^{ - 4}}$.