МНОГОЧЛЕНИ ТА ДІЇ НАД НИМИ

     Многочленом називається алгебрагічна сума кількох одночленів.

    Наприклад: $3xy + ab + 2;7{x^2}b - 2xy + a$ - многочлени.

     Одночлени, з яких складається многочлен, називають його членами. Одночлен – окремий вид многочлена. Многочлен, який містить два або три доданки, називають відповідно двочленом або тричленом.

    Наприклад: ${a^2} - {b^2},x + y$ - двочлени; $a + ab + b,{x^2} + xy - {y^2}$ - тричлени.

     Подібні члени многочлена – це однакові одночлени, або одночлени, запис яких у стандартному вигляді відрізняється лише коефіцієнтами.

    Наприклад: у многочлені $15{a^2}b + 3a{b^2} - 7{a^2}b + 5a{b^2}$ перший і третій, другий і четвертий члени подібні.

     Зведення подібних членів – це спрощення многочлена, коли алгебрагічна сума подібних членів замінюється одним членом. Щоб звести подібні члени, треба додати їх коефіцієнти і результат помножити на їх спільну буквену частину.

    Наприклад: $15{a^2}b + 3a{b^2} - 7{a^2}b + 5a{b^2} = 8{a^2}b + 8a{b^2}$.

     Стандартний вигляд многочлена – це запис многочлена, усі члени якого мають стандартний вигляд і серед них немає подібних.

    Наприклад: ${a^2} - ab + {b^2},ab + bc + ac$ - многочлени стандартного вигляду, а $3{a^2} + 2{b^2} - 3ab + {a^2}$ - многочлен нестандартного вигляду.

     Степенем многочлена стандартного вигляду називають найбільший зі степенів одночленів, із яких складається многочлен. Степенем довільного многочлена називають степінь тотожно рівного йому многочлена стандартного вигляду.

    Наприклад: степінь многочлена $5{a^7}b + 5a{b^5} - 2{a^5}{b^5}$ дорівнює степеню одночлена $2{a^5}{b^5}$, тобто 5+5=10.

     При додаванні многочленів користуються правилом розкриття дужок: якщо перед дужками стоїть знак «+», то дужки можна опустити, зберігши знаки кожного одночлена.

    Наприклад: $(3{x^2} - 2x + 5) + (6{x^2} + 5x - 3) = 3{x^2} - 2x + 5 + 6{x^2} + 5x - 3 = 9{x^2} + 3x + 2$.

     При відніманні многочленів користуються правилом розкриття дужок: якщо перед дужками стоїть знак «-», то дужки можна опустити, змінивши знак кожного одночлена, що містився в дужках, на протилежний.

    Наприклад: $(3{x^2} - 2x + 5) - (6{x^2} + 5x - 3) = 3{x^2} - 2x + 5 - 6{x^2} - 5x + 3 = - 3{x^2} - 7x + 8$.

     Щоб записати алгебрагічну суму кількох многочленів як многочлен стандартного вигляду, треба розкрити дужки і звести подібні члени.

    Наприклад: 

$\begin{array}{l}(2{x^2} - 3x + 2) - (3{x^2} - 2x - 1) - {x^2} + 2x + 1 + ( - 2{x^2} + x - 1) = \\ = 2{x^2} - 3x + 2 - 3{x^2} + 2x + 1 + {x^2} - 2x - 1 - 2{x^2} + x - 1 = - 2{x^2} - 2x + 1\end{array}$.

     Щоб помножити одночлен на многочлен, треба кожний член многочлена помножити на цей одночлен й одержані одночлени додати.

    Наприклад: $3a({a^2} - 2a + ab) = 3{a^3} - 6{a^2} + 3{a^2}b$.

     Щоб помножити многочлен на многочлен, треба кожний член одного многочлена помножити на кожний член другого многочлена й одержані многочлени додати.

    Наприклад: $(3x - 2)(2x - 3) = 3x \cdot 2x - 3x \cdot 3 - 2 \cdot 2x + 2 \cdot 3 = 6{x^2} - 9x - 4x + 6 = 6{x^2} - 13x + 6$.

     Щоб розділити многочлен на одночлен, треба кожний член многочлена розділити на цей многочлен й одержані результати додати.

    Наприклад: 

$\begin{array}{l}(5{x^7} - 2{x^5} + 3{x^2} + 6x):2x = 5{x^7}:2x - 2{x^5}:2x + 3{x^2}:2x + 6x:2x = \\ = 2,5{x^6} - {x^4} + 1,5x + 3\end{array}$.

     Розкладанням многочлена на множники називають запис многочлена у вигляді добутку многочленів.

    Наприклад: $2ax + 6ay = 2a(x + 3y)$.

     При розкладанні многочлена на множники використовують такі способи.

1. Винесення спільного множника за дужки.

    Наприклад: $5{x^2} + 10x = 5x(x + 2)$.

2. Спосіб групування.

     Наприклад: $3x - 3y - {x^2} + xy = (3x - 3y) - ({x^2} - xy) = 3(x - y) - x(x - y) = (x - y)(3 - x)$.

3. Використання формул скороченого множення.

     Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого і другого виразів плюс квадрат другого виразу

${(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$.

   Наприклад: ${(3a + 2b)^2} = 9{a^2} + 12ab + 4{b^2}$.

     Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток першого і другого виразів плюс квадрат другого виразу

${(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$.

    Наприклад: ${(3a - 2)^2} = 9{a^2} - 12a + 4$.

     Добуток різниці двох виразів і їх суми дорівнює різниці квадратів цих виразів

$(a - b)(a + b) = {a^2} - {b^2}$.

    Наприклад: $(5a - 3b)(5a + 3b) = 25{a^2} - 9{b^2}$.

     Добуток суми двох виразів на неповний квадрат їх різниці дорівнює сумі кубів цих виразів

$(a + b)({a^2} - ab + {b^2}) = {a^3} + {b^3}$.

    Наприклад: $(3 + x)(9 - 3x + {x^2}) = 27 + {x^3}$.

     Добуток різниці двох виразів на неповний квадрат їх суми дорівнює різниці кубів цих виразів

$(a - b)({a^2} + ab + {b^2}) = {a^3} - {b^3}$.

    Наприклад: $(2x - 3y)(4{x^2} + 6xy + 9{y^2}) = 8{x^3} - 27{y^3}$.

     Куб суми (різниці) двох виразів дорівнює кубу першого виразу плюс (мінус) потроєний добуток квадрата першого виразу на другий вираз плюс потроєний добуток першого виразу на квадрат другого виразу плюс (мінус) куб другого виразу

${(a \pm b)^3} = {a^3} \pm 3{a^2}b + 3a{b^2} \pm {b^3}$.

    Наприклад: ${(2x - 3y)^3} = 8{x^3} - 36{x^2}y + 54x{y^2} - 27{y^3}$,

  ${(2 + 5x)^3} = 8 + 60x + 150{x^2} + 125{x^3}$.