АЛГЕБРАГІЧНІ ДРОБИ ТА ДІЇ НАД НИМИ

     Алгебрагічним називається дріб, чисельник і знаменник якого є алгебрагічними виразами.

    Наприклад: $\frac{{{a^2}b}}{c};\frac{{3x}}{{4y}};\frac{{3x - 2y}}{{a + 1}}$ - алгебрагічні вирази.

     Передбачається, що використані в записі алгебрагічного дробу букви можуть набувати тільки таких значень, при яких знаменник цього дробу не дорівнює нулю.

    Наприклад: дріб $\frac{{a + 3}}{{a(a - 9)}}$ має зміст при всіх значеннях змінної а, крім 0 і 9.

Основна властивість дробу

     При множенні чисельника і знаменника дробу на один і той самий алгебрагічний вираз одержуємо дріб, що дорівнює даному дробу.

Наприклад: $\frac{{a - b}}{{a + b}} = \frac{{(a - b)(a + b)}}{{(a + b)(a + b)}} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{{(a + b)}^2}}}$.

Скорочення алгебрагічних дробів

     Використовуючи основну властивість дробу, можна скорочувати алгебрагічні дроби на спільний множник чисельника і знаменника.

    Наприклад: $\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{(x - 1)(x + 1)}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}} = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$.

     Якщо змінити знак чисельника (або знак знаменника) дробу і знак перед дробом, то одержимо вираз, що тотожно дорівнює даному:

$- \frac{{ - a}}{b} = \frac{a}{b}; - \frac{a}{{ - b}} = \frac{a}{b}$.

     Щоб додати (відняти) дроби з однаковими знаменниками, треба додати (відняти) їх чисельники, а знаменник залишити той самий.

    Наприклад: $\frac{{2x - 3y}}{{5xy}} + \frac{{2x - 7y}}{{5xy}} = \frac{{2x - 3y + 2x - 7y}}{{5xy}} = \frac{{4x - 10y}}{{5xy}}$;

     $\frac{{{x^2}}}{{3x - 6}} - \frac{4}{{3x - 6}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{3x - 6}} = \frac{{(x - 2)(x + 2)}}{{3(x - 2)}} = \frac{{x + 2}}{3}$.

     Щоб додати (відняти) дроби з різними знаменниками треба:

1. розкласти на множники чисельник і знаменник кожного дробу;
2. скоротити множники в чисельнику і знаменнику кожного дробу;
3. знайти і записати спільний знаменник дробів;
4. знайти і записати додаткові множники для кожного дробу;
5. записати суму (різницю) добутків чисельників і додаткових множників, ураховуючи знаки, в чисельник дробу;
6. спростити (якщо можливо) одержаний дріб.

    Наприклад: $\frac{{{a^2}}}{{ab - {b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{ab - {b^2}}} - \frac{b}{a} = \frac{{{a^2}}}{{b(a - b)}} + \frac{{{b^2}}}{{a(b - a)}} - \frac{b}{a} =$

                            $= \frac{{{a^{{2^{(a}}}}}}{{b(a - b)}} + \frac{{{b^{{2^{(b}}}}}}{{a(b - a)}} - \frac{{{b^{(b(a - b)}}}}{a} = \frac{{{a^3} - {b^3} - a{b^2} + {b^3}}}{{ab(a - b)}} =$

                             $= \frac{{{a^3} - a{b^2}}}{{ab(a - b)}} = \frac{{a({a^2} - {b^2})}}{{ab(a - b)}} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{b(a - b)}} = \frac{{(a - b)(a + b)}}{{b(a - b)}} = \frac{{a + b}}{b}$.

     Щоб помножити дріб на дріб, треба перемножити їх чисельники і знаменники, перший добуток записати чисельником, а другий – знаменником дробу.

     Якщо $b \ne 0,d \ne 0$, то $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{{ac}}{{bd}}$.

    Наприклад: $\frac{{{x^2} - 4}}{{3x(x - 2)}} \cdot \frac{{{x^2}}}{{2 + x}} = \frac{{(x + 2)(x - 2) \cdot {x^2}}}{{3x(x - 2) \cdot (2 + x)}} = \frac{x}{3}$.

     Щоб поділити один дріб на інший, треба перший дріб помножити на дріб, обернений до другого.

     Якщо $b \ne 0,c \ne 0,d \ne 0$, то $\frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$.

    Наприклад: $\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{2xy}}:\frac{{x + y}}{{4x}} = \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{2xy}} \cdot \frac{{4x}}{{x + y}} = \frac{{(x + y)(x - y) \cdot 4x}}{{2xy \cdot (x + y)}} = \frac{{2(x - y)}}{y}$.

     Виконати тотожні перетворення раціонального виразу (виразів) загального вигляду, що містить цілі і дробові вирази, означає звести вираз (вирази) до дробу, чисельник і знаменник якого є многочленами стандартного вигляду. При цьому послідовність виконання перетворень така сама, як і послідовність виконання дій у числових виразах.

    Наприклад:

І спосіб

 $\frac{{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}}{{\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2}} = \frac{{\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{xy}}}}{{\frac{{{x^2} + {y^2} - 2xy}}{{xy}}}} = \frac{{(x - y)(x + y)}}{{xy}} \cdot \frac{{xy}}{{{{(x - y)}^2}}} = \frac{{(x - y)(x + y)xy}}{{xy(x - y)(x - y)}} = \frac{{x + y}}{{x - y}}$.

ІІ спосіб

 $\frac{{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}}{{\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2}} = \frac{{(\frac{x}{y} - \frac{y}{x})xy}}{{(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2)xy}} = \frac{{\frac{x}{y} \cdot xy - \frac{y}{x}xy}}{{\frac{x}{y} \cdot xy + \frac{y}{x} \cdot xy - 2xy}} = \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{{x^2} + {y^2} - 2xy}} = \frac{{(x - y)(x + y)}}{{{{(x - y)}^2}}} = \frac{{x + y}}{{x - y}}$ .