АРИФМЕТИЧНИЙ КВАДРАТНИЙ КОРІНЬ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

     Квадратним коренем із числа а називається число, квадрат якого дорівнює а.

    Наприклад: квадратний корінь із числа 4 дорівнює 2 або (-2), бо ${2^2} = 4,{( - 2)^2} = 4$.

Арифметичний квадратний корінь

     Арифметичним квадратним коренем із числа а називається невід’ємне число, квадрат якого дорівнює а.

    Арифметичний квадратний корінь із числа а позначають так: $\sqrt a$. Знак $\sqrt {}$ називають знаком арифметичного квадратного кореня, вираз, який стоїть під знаком кореня, – підкореневим виразом. Запис  читають так: «квадратний корінь із а» (слово «арифметичний» при читанні опускають).

     Отже, $\sqrt a  = b,b \ge 0$ означає ${b^2} = a$.

     Якщо а<0, то вираз $\sqrt a$ не має змісту.

    Наприклад: $\sqrt {16} = 4$, бо ${4^2} = 16$; $\sqrt {225} = 15$, бо ${15^2} = 225$.

     З означення арифметичного квадратного кореня випливає, що при невід’ємних значеннях а справедлива рівність ${(\sqrt a )^2} = a$.

Якщо $a \ge 0$, то $\sqrt {{a^2}} = a$. Якщо $a < 0$, то $\sqrt {{a^2}} = - a$. Отже, 

$\sqrt {{a^2}} = |a| = \left\{ \begin{array}{l}a,a \ge 0,\\ - a,a < 0.\end{array} \right.$

     1. Корінь із добутку невід’ємних множників дорівнює добутку коренів із цих множників:

$\sqrt {ab} = \sqrt a \cdot \sqrt b$,

де а≥0, b≥0.

     Якщо а≥0, b≥0, то $\sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt {ab}$.

    Наприклад: $\sqrt {64 \cdot 0,04} = \sqrt {64} \cdot \sqrt {0.04} = 8 \cdot 0,2 = 1,6;\sqrt 2 \cdot \sqrt 8 = \sqrt {2 \cdot 8} = \sqrt {16} = 4$.

     2. Корінь із дробу, чисельник якого невід’ємний, а знаменник додатний, дорівнює кореню із чисельника, діленому на корінь із знаменника:

$\sqrt {\frac{a}{b}} = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$,

де а≥0, b≥0.

     Якщо а≥0, b>0, то $\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }} = \sqrt {\frac{a}{b}}$.

    Наприклад: $\sqrt {\frac{{36}}{{169}}} = \frac{{\sqrt {36} }}{{\sqrt {169} }} = \frac{6}{{13}},\frac{{\sqrt {80} }}{{\sqrt 5 }} = \sqrt {\frac{{80}}{5}} = \sqrt {16} = 4$.

     3. Внесення множника під знак квадратного кореня:

а) $b\sqrt a = \sqrt {{b^2}a}$, при b≥0;

б) $b\sqrt a = -\sqrt {{b^2}a}$, при b<0.

     4. Винесення множника з-під знака кореня:

а) $\sqrt {{b^2}a} = b\sqrt a$, при b≥0;

б) $\sqrt {{b^2}a} =- b\sqrt a$, при b<0.

     Числа, які неможна подати у вигляді , називають ірраціональними.

    Наприклад: $\sqrt 2,\sqrt 3,\sqrt 5,\pi ,e...$ - ірраціональні числа.

Запис ірраціональних чисел у вигляді десяткового дробу

     Будь-яке ірраціональне число можна подати у вигляді нескінченного неперіодичного десяткового дробу.

    Наприклад: $\sqrt 2 = 1,4142135...,\pi = 3,1415926...,e = 2,718281182...$.

     Будь-який нескінченний неперіодичний десятковий дріб є записом деякого ірраціонального числа.

     Раціональні та ірраціональні числа утворюють множину дійсних чисел, яку позначають символом R.

     Кожне натуральне число є водночас і цілим, і раціональним, і дійсним. Кожне ціле число є також раціональним і дійсним.

    Наприклад: усі числа $\frac{{15}}{{17}}, - 3,0,\sqrt 2 , - \sqrt 3$ – дійсні; перші три – раціональні; два останні – ірраціональні; -3, 0 – цілі.

     Будь-яке дійсне число можна записати у вигляді нескінченного десяткового дробу.

    Наприклад: $\frac{1}{2} = 0,5 = 0,500...,\frac{1}{3} = 0,333...,\sqrt {10} = 3,1622776...$.

     Будь-який нескінченний десятковий дріб є записом деякого дійсного числа.