ФУНКЦІЇ ТА ЇХ ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ

     Числовою функцією з областю визначення D називають залежність, згідно з якою кожному числу х із множини D відповідає за деяким правилом єдине число у із множини Е.

     Змінну х називають незалежною змінною або аргументом функції, а змінну у – залежною змінною або функцією.

     Функцію позначають латинськими буквами f, g, h,… (або f(x), g(x), h(x),…) або рівностями y=f(x), y=g(x), y=h(x),…

     Якщо задане конкретне значення незалежної змінної $x = {x_0}$, то ${y_0} = f({x_0})$ називається значенням функції f у точці ${x_0}$.

    Наприклад: якщо $f(x) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 1}}$, то $f(1) = \frac{{{1^2}}}{{{1^2} + 1}} = \frac{1}{2}$, $f(0) = \frac{{{0^2}}}{{{0^2} + 1}} = 0$, $f(a) = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 1}}$.

     Область визначення функції позначають D(f). Множина, що складається з усіх чисел f(x) таких, що х належить області визначення функції f, називається областю значень функції і позначається Е(f).

     Розглянемо приклад. Результати вимірювання температури тіла хворого залежно від часу подано в таблиці:

     Залежність y=f(x) є функцією, де х – незалежна змінна, у – залежна змінна.

f(9)=39; f(12)=38,5; f(15)=38,3; f(18)=37,3; f(21)=37,1; f(24)=37.

D(f)={9; 12; 15; 18; 21; 24}.

Е(f)={39;38,5; 38,3; 37,3; 37,1; 37}.

     Функцію можна задати за допомогою таблиці, графіка, формули.

     Найчастіше функцію задають формулою, яка дає можливість одержати значення залежної змінної у, підставивши конкретне значення аргументу х.

    Наприклад: якщо кожному значенню х із множини дійсних чисел відповідає квадрат цього числа, то функцію можна записати у вигляді формули: $y = {x^2}$, або $f(x) = {x^2}$.

     Областю визначення функції у=f(х), яка задана формулою, називають множину тих значень, яких може набувати х, тобто таких х, за яких формула має зміст (усі дії, указані формулою, можна виконати).

     При знаходженні області визначення слід пам’ятати:

1. Якщо функція є многочленом $y = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0}$, то $D(y) = ( - \infty ; + \infty ) = R$.

    Наприклад: якщо $y = {x^2} + 2x + 1$, то $D(y) = R$.

2. Якщо функція має вигляд $y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}$, де $f(x),g(x)$ – многочлени, то слід вважати g(x)≠0 (знаменник дробу не дорівнює 0).

    Наприклад: якщо $y = \frac{x}{{{x^2} - 1}}$, то ${{x^2} - 1 \ne 0}$. Тоді х≠1 і х≠-1. Отже, $D(y) = ( - \infty ; - 1) \cup ( - 1;1) \cup (1; + \infty )$.

3. Якщо функція має вигляд $y = \sqrt {f(x)}$, то слід вважати f(x)≥0 (арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід’ємних чисел).

    Наприклад: якщо $y = \sqrt {5 + x}$, то $5 + x \ge 0,x \ge - 5$, тобто $D(y) = [ - 5; + \infty )$.

     Графіком функції $y = f(x)$ називають множину всіх точок площини з координатами $(x;f(x))$, де перша координата «пробігає» всю область визначення функції $y = f(x)$, а друга – це відповідні значення функції у точці х.

Функція $y = f(x)$ є зростаючою, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Тобто для будь-яких значень ${x_1},{x_2}$ з області визначення функції як таких, ${x_1} < {x_2}$, що виконується нерівність $f({x_1}) < f({x_2})$ (або ${y_1} < {y_2}$), і навпаки, якщо $y = f(x)$ - зростаюча, то за умови $f({x_1}) < f({x_2})$ виконується нерівність ${x_1} < {x_2}$.

     Функція $y = f(x)$ є спадною, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції. Тобто для будь-яких значень ${x_1},{x_2}$ з області визначення функції як таких, ${x_1} < {x_2}$, що виконується нерівність $f({x_1}) > f({x_2})$ (або ${y_1} > {y_2}$), і навпаки, якщо $y = f(x)$ - спадна, то за умови $f({x_1}) > f({x_2})$ виконується нерівність ${x_1} < {x_2}$.

     Функцію $y = f(x)$ називають періодичною з періодом Т≠0, якщо для будь-якого х з області визначення числа х+Т і х-Т також належать області визначення і виконується рівність:

$f(x + T) = f(x - T) = f(x)$.

     Якщо функція $y = f(x)$ - періодична з найменшим додатним періодом Т, то функція $y = f(kx + b)$  теж періодична, і найменший додатний період її дорівнює $\frac{T}{{|k|}}(k \ne 0)$.

     Функція $y = f(x)$ є парною, якщо для будь-якого значення х із D(y) значення – х також належить D(y) і виконується рівність $f( - x) = f(x)$. Графік парної функції симетричний відносно осі ОY.

    Приклад 1. Чи є парною функція $f(x) = {x^4} + {x^2}$?

     Оскільки $D(f) = R$ і $f( - x) = {( - x)^4} + {( - x)^2} = {x^4} + {x^2} = f(x)$, то функція парна.

    Приклад 2. Чи є парною функція $f(x) = {x^2} + x$?

     Оскільки $D(f) = R$, але $f( - x) = {( - x)^2} + ( - x) = {x^2} - x \ne f(x)$, то функція є непарною.

     Функція $y = f(x)$ є непарною, якщо для будь-якого значення х із D(y) значення $x \in D(y)$ і виконується рівність $f( - x) = - f(x)$. Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

    Приклад 3. Чи є непарною функція $f(x) = {x^3} - {x^5}$?

     Оскільки $D(f) = R$ і $f( - x) = {( - x)^3} - ( - {x^5}) = - {x^3} + {x^5} = - ({x^3} - {x^5}) = - f(x)$, то функція є непарною.

    Приклад 4. Чи є непарною функція $f(x) = {x^3} - {x^2}$?

     Оскільки $D(f) = R$ і $f( - x) = {( - x)^3} - {( - x)^2} = - {x^3} - {x^2} = - ({x^3} + {x^2}) \ne - f(x) = - {x^3} + {x^2}$, то функція не є непарною.

Функція $y = kx$

     Властивості:

1. Область визначення: R.

2. Функція є непарною.

3. Для $x \in R$ функція зростає, якщо $k > 0$; спадає, якщо $k < 0$.

4. Область значень: R.

5. Графік – пряма, що проходить через початок координат.

Функція $y = b$

     Властивості:

1. Область визначення: R.

2. Функція є парною. Якщо b=0, то функція і парна, і непарна.

3. Для $x \in R$ функція стала.

4. Область значень: {b}.

5. Графік – пряма, паралельна осі х, якщо b≠0, і пряма, що збігається з віссю х, якщо b=0.

6. Функція періодична, будь-яке число є періодом. Найменшого додатного періоду немає.

Функція $y = \frac{k}{x}\;(y = \frac{k}{{{x^{2n + 1}}}},n \in N,k \ne 0)$

     Властивості

1. Область визначення: $x \in ( - \infty ;0) \cup (0; + \infty )$.

2. Функція є непарною.

3. Якщо $k > 0$, функція спадає на проміжку $( - \infty ;0)$ і на проміжку $(0; + \infty )$. Якщо $k < 0$, функція зростає на проміжку $( - \infty ;0)$ і на проміжку $(0; + \infty )$.

4. Область значень: $( - \infty ;0) \cup (0; + \infty )$.

5. Графік функції – гіпербола.

Функція $y = a{x^2}\;(y = a{x^{2n}},a \ne 0,n \in N)$

     Властивості

1. Область визначення: R.

2. Функція є парною.

3. Якщо $a > 0$, функція спадає на проміжку (-∞;0], зростає на проміжку [0;+∞). Якщо $a < 0$, функція зростає на проміжку (-∞;0], спадає на проміжку [0;+∞).

4. Область значень: якщо $a > 0$, то $y \in [0; + \infty )$; якщо $a < 0$, то $y \in ( - \infty ;0]$.

5. Графік функції – парабола.

Функція $y = a{x^3}\;(y = a{x^{2n + 1}},a \ne 0,n \in N)$

     Властивості

1. Область визначення: R.

2. Функція є непарною.

3. Для $x \in R$ функція зростає, якщо $a > 0$; спадає, якщо $a < 0$.

4. Область значень: R.

5. Графік функції – кубічна парабола.

Функція $y = |x|$

     Властивості

1. Область визначення: R.

2. Функція є парною.

3. На проміжку (-∞;0] функція спадає; на проміжку [0;+∞) функція зростає.

4. Область значень: [0;+∞).

Функція $y = \frac{k}{{{x^{2n}}}}\;(y = \frac{k}{{{x^{2n + 1}}}},k \ne 0,n \in N)$

     Властивості

1. Область визначення: $x \in ( - \infty ;0) \cup (0; + \infty )$.

2. Функція є парною.

3. Якщо $k > 0$, функція зростає на проміжку $( - \infty ;0)$ і спадає на проміжку $(0; + \infty )$. Якщо $k < 0$, функція спадає на проміжку $( - \infty ;0)$ і зростає на проміжку $(0; + \infty )$.

4. Область значень: якщо $k > 0$, то $y \in (0; + \infty )$; якщо $k < 0$, то $y \in ( - \infty ;0)$.

Функція $y = \sqrt x$

     Властивості

1. Область визначення: [0;+∞).

2. Функція ні парна, ні непарна.

3. На проміжку [0;+∞) функція зростає.

4. Область значень: [0;+∞).

     1. Щоб побудувати графік функції $y = f(x + a)$, слід перенести графік функції f(x) уздовж осі Ох на а одиниць: вправо, якщо а<0; вліво, якщо а>0.

     2. Щоб побудувати графік функції $y = f(x + b)$, слід перенести графік функції f(x) уздовж осі Оy на b одиниць: вверх, якщо b<0; вниз, якщо b>0.

     3. Щоб побудувати графік функції $y = - f(x)$, слід графік функції $y = f(x)$ симетрично відобразити відносно осі абсцис.

     4. Щоб побудувати графік функції $y = f( - x)$, слід графік функції $y = f(x)$ симетрично відобразити відносно осі ординат.

     5. Щоб побудувати графік функції $y = |f(x)|$, слід частину графіка функції $y = f(x)$ у верхній півплощині і на осі абсцис залишити без змін, а замість частини графіка в нижній півплощині побудувати симетричну їй частину відносно осі Ох.

     6. Щоб побудувати графік функції $y = f(|x|)$, слід частину графіка функції $y = f(x)$ у правій півплощині і на осі ординат залишити без змін, а замість частини графіка в лівій півплощині побудувати симетричну їй частину відносно осі Оу.

     7. Щоб побудувати графік функції $y = f(kx),k > 0$, слід:

1) при k>1 стиснути графік функції $y = f(x)$ до точки (0;0) уздовж осі абсцис у k разів;

2) при 0<k<1 розтягнути від точки (0;0) графік функції $y = f(x)$ уздовж осі абсцис у $\frac{1}{k}$ разів.

     8. Щоб побудувати графік функції $y = kf(x),k > 0$, слід:

1) при k>1 розтягнути графік функції $y = f(x)$ до точки (0;0) уздовж осі ординат у k разів;

2) при 0<k<1 стиснути від точки (0;0) графік функції $y = f(x)$ уздовж осі ординат у $\frac{1}{k}$ разів.

     Функцію, яка набуває кожного свого значення в єдиній точці області визначення, називають оборотною.

    Наприклад: функція у=2х+1 – оборотна, а функція $y = {x^2}$ (визначена на всій числовій осі) не є оборотною.

     Якщо функція задана формулою $y = f(x)$, то для знаходження оберненої функції потрібно розв’язати рівняння $f(x) = y$ відносно х, а потім поміняти місцями х і у.

    Наприклад: оберненою до функції $y = 2x + 1$ є функція $y = \frac{{x - 1}}{2}$.

     Якщо рівняння $f(x) = y$ відносно х має більше ніж один корінь, то функція $y = f(x)$ не має оберненої функції.

    Наприклад: функція $y = {x^2} + 1$ оберненої функції не має.

     Графіки даної функції і оберненої до неї симетричні відносно прямої у=х.

    Наприклад: функції $y = 2x + 1,y = \frac{{x - 1}}{2}$, графіки яких симетричні відносно прямої у=х, є оберненими.

     Якщо функція $y = f(x)$ зростає (спадає) на деякому проміжку, то вона оборотна. Функція, яка обернена до даної і визначена в області значень функції $y = f(x)$, також є зростаючою (спадною).

     Якщо функція $y = f(x)$ визначена на області визначення D і має область значень Е, то обернена функція має область визначення Е і область значень D.