Друкувати цей розділДрукувати цей розділ

ЛІНІЙНА ФУНКЦІЯ. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ, НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ СИСТЕМИ

4. Системи лінійних рівнянь з двома змінними

     Системи рівнянь розв’язують кількома способами: графічним, підстановки, додавання. Розглянемо приклади.

     Приклад 7. Розв’яжіть систему рівнянь графічним способом 

\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5,\\x - y = 1.\end{array} \right.

Розв’язання

     Побудуємо графіки рівнянь х+у=5 або у=-х+5 (пряма, яка проходить через точки (0;5) і (5;0)) та х-у=1 або у=х-1 (пряма, яка проходить через точки (0;-1) та (1;0)).

     Ці графіки перетинаються в точці (3;2).

     Отже, розв’язком системи є пара (3;2).

     Відповідь: (3;2).

     Щоб розв’язати систему рівнянь графічним способом, треба:

1. виконати рівносильні перетворення системи так, щоб було зручно побудувати графіки рівнянь системи;

2. побудувати графіки;

3. знайти координати точок (точки) перетину побудованих ліній. Ці координати і є розв’язками (розв’язком) системи рівнянь.

    Зауваження. Графічний спосіб розв’язування систем рівнянь не є універсальним, оскільки не завжди розв’язком системи є пара цілих чисел. Іноді важко точно встановити координати точки перетину побудованих графіків функцій, можливо лише вказати наближенні значення. Тому, як правило, використовують алгебрагічні способи розв’язування систем рівнянь: спосіб підстановки, додавання.

    Приклад 8. Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки 

\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 6,\\4x - 3y = 2.\end{array} \right.

Розв’язання

     Із першого рівняння системи виразимо у через х: у=6-2х. одержаний вираз підставимо в друге рівняння системи:

4х-3(6-2х)=2, звідси 4х-18+6х=2; 10х=20; х=2.

     Одержане значення х підставляємо у вираз у=6-2х;

у=6-2·2.

     Отже, пара (2;2) – розв’язок даної системи.

     Відповідь: (2;2).

     Способом підстановки систему двох рівнянь із двома змінними розв’язують за таким порядком:

1. з одного рівняння системи виражаємо одну зі змінних через другу змінну і відомі величини;

2. знайдене значення підставляємо в друге рівняння системи, одержуємо рівняння відносно другої змінної;

3. розв’язуємо одержане рівняння і знаходимо значення цієї змінної;

4. підставляючи знайдене значення у вираз для першої змінної, одержуємо відповідне її значення;

5. записуємо відповідь.

    Зауваження. Спосіб підстановки, як правило, використовують, якщо коефіцієнт при одній зі змінних в одному з рівнянь системи дорівнює 1.

    Приклад 9. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання 

\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 5,\\5x - 3y = 2.\end{array} \right.

Розв’язання

     Помножимо почленно перше рівняння системи на 3, а друге – на 2 (це дає змогу при додаванні рівнянь позбавитися від змінної у):

\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 5|3,\\5x - 3y = 2|2,\end{array} \right.

\left\{ \begin{array}{l}9x + 6y = 15,\\10x - 6y = 4.\end{array} \right.

     Додавши почленно рівняння, одержуємо 19х=19, звідси х=1 (значення у знайдемо з першого рівняння системи: 3·1+2у=5, 2у=2, у=1, отже, (1;1) – розв’язок системи).

     Значення у можна знайти, якщо помножимо почленно перше рівняння на -5, а друге – на 3:

\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 5| - 5,\\5x - 3y = 2|3,\end{array} \right.

\left\{ \begin{array}{l} - 15x - 10y = - 25,\\15x - 9y = 6.\end{array} \right.

     Додавши почленно рівняння, одержуємо:

-19у=-19, у=1.

     Отже, пара (1;1) є розв’язком даної системи.

     Відповідь: (1;1).

     Розв’язування системи двох лінійних рівнянь із двома змінними способом алгебрагічного додавання виконують за таким порядком:

1) урівнюємо коефіцієнти при одній зі змінних шляхом по членного множення обох рівнянь на множники, підібрані відповідним чином;

2) додаючи (або віднімаючи) почленно рівняння системи, виключаємо одну зі змінних;

3) розв’язуємо одержане рівняння з однією змінною;

4) значення другої змінної можна знайти таким же способом (або підстановкою знайденого значення змінної в будь-яке із заданих рівнянь системи);

5) записуємо відповідь.

    Зауваження. Спосіб додавання, як правило, використовують, якщо коефіцієнти при одній зі змінних у рівнянні системи – протилежні числа.