КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ, НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ СИСТЕМИ

7. Розв’язування квадратичних нерівностей методом інтервалів

Розглянемо розв’язування квадратичних нерівностей методом інтервалів на прикладі.

Приклад 1. Знайдіть, при яких значення х квадратний тричлен ${x^2} - 5x + 6$ набуває додатних значень, а при яких – від’ємних.

Розв’язання

Розкладемо квадратний тричлен ${x^2} - 5x + 6$ на множники

${x^2} - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ .

Тоді х=2 і х=3 поділяють числову пряму на три проміжки: (-∞;2); (2;3); (3;+∞).

Вираз (х-2)(х-3) є добутком двох множників. Знак кожного з цих множників та їх добутку подамо у вигляді таблиці.

Новая страница 1

	(-∞;2)	(2;3)	(3;+∞)
х-2	-	+	+
х-3	-	-	+
(х-2)(х-3)	+	-	+

Рухаючись уздовж числової осі зліва направо, ми бачимо, що на проміжку (-∞;2) тричлен ${x^2} - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ набуває додатних значень, оскільки в цьому випадку обидва множники х-2 і х-3 є від’ємними.

На проміжку (2;3) цей тричлен набуває від’ємних значень і, отже, при переході через точку х=2 змінює знак. Це відбувається тому, що в добутку (х-2)(х-3) при переході через точку х=2 перший множник х-2 змінює знак, а другий множник х-3 – ні.

При переході через точку х=3 тричлен знову змінює знак, оскільки в добутку (х-2)(х-3) перший множник х-2 не змінює знак, а другий множник х-3 змінює.

Отже, рухаючись уздовж числової прямої, ми спостерігаємо, як змінюється знак добутку (х-2)(х-3).

Таким чином, задачу про знак квадратного тричлена ${x^2} - 5x + 6$ можна розв’язувати у такий спосіб.

Позначити на числовій прямій корені рівняння ${x^2} - 5x + 6 = 0$ , тобто точки х=2, х=3. Вони поділяють числову пряму на три проміжки. На проміжку (-∞;2) значення тричлена ${x^2} - 5x + 6$ додатне, тому розставляємо його знаки на останніх проміжках, ураховуючи чергування знаків.

На рис. видно, що ${x^2} - 5x + 6 > 0$ на проміжку $( - \infty ;2) \cup (3; + \infty )$ , а на проміжку (2;3) - ${x^2} - 5x + 6 < 0$ .

Приклад 2. Розв’яжіть нерівність $2{x^2} - 3x - 5 \ge 0$ .

Розв’язання

Знайдемо корені квадратного тричлена $2{x^2} - 3x - 5$ :

${x_{1,2}} = \frac{{3 \pm \sqrt {9 + 40} }}{4} = \frac{{3 \pm 7}}{4};\;{x_1} = \frac{{10}}{4} = 2\frac{1}{2};\;{x_2} = - 1$ .

Наносимо на числову пряму точки -1 та $2\frac{1}{2}$ , які поділяють її на три проміжки. Визначаємо знак тричлена $2{x^2} - 3x - 5$ на проміжку (-∞;-1), він на цьому проміжку додатний. Знаходимо знаки тричлена на інших проміжках.

Отже, $2{x^2} - 3x - 5 \ge 0$ , якщо х належить об’єднанню проміжків $( - \infty ; - 1] \cup [2\frac{1}{2}; + \infty )$ .

Відповідь: $( - \infty ; - 1] \cup [2\frac{1}{2}; + \infty )$ .