ПАРАЛЕЛОГРАМИ, ЇХ ВИДИ ТА ВЛАСТИВОСТІ

1. Паралелограм та його властивості

     Паралелограмом називають чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

    Наприклад: чотирикутник ABCD – паралелограм, оскільки .

Властивості паралелограма

У паралелограма:

1. Протилежні сторони рівні. AB=CD, AD=BC.
2. Протилежні кути рівні. .
3. Діагоналі точкою перетину діляться навпіл. АО=ОС, ВО=ОD.
4. Кожна діагональ розбиває паралелограм на два рівних трикутники. .
5. Сума кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, дорівнює 180°. .
6. Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін:  або .

     Висотою паралелограма називають перпендикуляр, опущений із будь-якої точки однієї сторони на пряму, що містить протилежну сторону (або відстань між протилежними сторонами).

    Наприклад: MN і ВК – висоти.

2. Ознаки паралелограма

     1. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, то такий чотирикутник паралелограм.

    Наприклад: якщо АО=ОС, ВО=ОD, то ABCD – паралелограм.

     2. Якщо в чотирикутника дві сторони паралельні і рівні, то цей чотирикутник – паралелограм.

    Наприклад: якщо , AB=CD (або , AD=BC), то ABCD – паралелограм.

     3. Якщо в чотирикутника протилежні сторони попарно рівні, то цей чотирикутник – паралелограм.

    Наприклад: AB=CD і AD=BC, то ABCD – паралелограм.

3. Прямокутник, ромб, квадрат та їх властивості

     Прямокутником називають паралелограм, у якого всі кути прямі.

    Наприклад: паралелограм ABCD – прямокутник, оскільки .

Ознаки прямокутника

1. Якщо у паралелограма один із кутів прямий, то цей паралелограм – прямокутник.
2. Якщо у паралелограма діагоналі рівні, то цей паралелограм – прямокутник.

Властивості прямокутника

     Прямокутник має всі властивості паралелограма, крім того, діагоналі прямокутника рівні.

     Ромбом називається паралелограм, у якого всі сторони рівні.

    Наприклад: паралелограм ABCD – ромб, оскільки AB= BC=CD=AD.

Ознаки ромба

1. Якщо у паралелограма діагоналі перпендикулярні, то такий паралелограм – ромб.
2. Якщо у чотирикутника сторони рівні, то такий чотирикутник – ромб.

Властивості ромба

     Ромб має всі властивості паралелограма, крім того:

1. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні. Наприклад: у ромба ABCD .
   
2. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів. Наприклад:  і  .

     Квадратом називають прямокутник, у якого всі сторони рівні.

     Квадратом називають ромб, у якого всі кути прямі.

Властивості квадрата

1. У квадрата всі кути прямі і всі сторони рівні.
2. Діагоналі квадрата рівні і перетинаються під прямим кутом.
3. Діагоналі квадрата є бісектрисами його кутів. Кожна діагональ квадрата утворює зі стороною кут 45°.