ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ. АРИФМЕТИЧНА ТА ГЕОМЕТРИЧНА ПОСЛІДОВНОСТІ
Числові послідовності. Арифметична та геометрична прогресії
Сайт: | Підготовка до ЗНО - Освітній портал "Академія" |
Курс: | Підготовка до ЗНО з математики. Алгебра. |
Книга: | ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ. АРИФМЕТИЧНА ТА ГЕОМЕТРИЧНА ПОСЛІДОВНОСТІ |
Надруковано: | Гість |
Дата: | Sunday 8 September 2024 2:21 AM |
1. Арифметична прогресія
Арифметичною прогресією називають послідовність , кожен член якої,починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається одне й те саме число d, яке називають різницею арифметичної прогресії:
Наприклад: 1, 2, 3, 4,…, n,… - арифметична прогресія, у якій , d=1; 2, 4, 6,…, 2n,… - арифметична прогресія, у якій
, d=2.
Визначається n-й член арифметичної прогресії за формулою
де n – номер члена, - n-й член,
- перший член, d – різниця прогресії.
Кожний член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх членів:
Якщо всі члени деякої числової послідовності, починаючи з другого, задовольняють умові , то ця послідовність є арифметичною прогресією.
Сума перших n членів арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному першого і n-го членів цієї прогресії, помноженому на їх кількість:
Суму перших n членів арифметичної прогресії можна знайти і за формулою
2. Геометрична прогресія
Геометричною прогресією називають послідовність , кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число q (q≠0, |q|≠1), яке називають знаменником геометричної прогресії:
Наприклад: 1, 3, 9,…, 3n-1,… - геометрична прогресія, у якій , q=3;
- геометрична прогресія, у якій
.
Визначається n-й член геометричної прогресії за формулою
де n – номер члена, - n-й член,
- перший член, q – знаменник прогресії.
Модуль кожного члена геометричної прогресії, починаючи з другого, є середнім геометричним двох сусідніх членів:
Якщо всі члени числової послідовності, починаючи з другого задовольняють умові
то ця послідовність є геометричною прогресією.
Суму перших n членів геометричної прогресії можна знайти і за формулою
3. Нескінченно спадна геометрична прогресія
Нескінченно спадна геометрична прогресія – це нескінченна геометрична прогресія, знаменник q якої за модулем є меншим за 1, тобто |q|<1.
Сумою всіх членів нескінченної спадної геометричної прогресії
є границя, до якої прямує сума n її перших членів при нескінченному зростанні n ().
Ця сума визначається за формулою
Приклад. Обчисліть суму.
Відповідь: 2.