ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ. АРИФМЕТИЧНА ТА ГЕОМЕТРИЧНА ПОСЛІДОВНОСТІ

     Арифметичною прогресією називають послідовність ${a_1},{a_2},...{a_n},...$, кожен член якої,починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається одне й те саме число d, яке називають різницею арифметичної прогресії:

${a_{n + 1}} = {a_n} + d,n \in N$.

    Наприклад: 1, 2, 3, 4,…, n,… - арифметична прогресія, у якій ${a_1} = 1$, d=1; 2, 4, 6,…, 2n,… - арифметична прогресія, у якій ${a_1} = 2$, d=2.

     Визначається n-й член арифметичної прогресії за формулою

${a_n} = {a_1} + d(n - 1)$,

де n – номер члена, ${a_n}$ - n-й член, ${a_1}$ - перший член, d – різниця прогресії.

     Кожний член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх членів:

${a_n} = \frac{{{a_{n - 1}} + {a_{n + 1}}}}{2}$.

     Якщо всі члени деякої числової послідовності, починаючи з другого, задовольняють умові ${a_n} = \frac{{{a_{n - 1}} + {a_{n + 1}}}}{2}$, то ця послідовність є арифметичною прогресією.

     Сума перших n членів арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному першого і n-го членів цієї прогресії, помноженому на їх кількість:

${S_n} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n} = \frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} \cdot n$.

     Суму перших n членів арифметичної прогресії можна знайти і за формулою

${S_n} = \frac{{2{a_1} + d(n - 1)}}{2} \cdot n$.

     Геометричною прогресією називають послідовність ${b_1},{b_2},...,{b_n},...$, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число q (q≠0, |q|≠1), яке називають знаменником геометричної прогресії:

${b_{n + 1}} = {b_n} \cdot q$, де $q \ne 0,|q| \ne 1,n \in N$.

    Наприклад: 1, 3, 9,…, 3^n-1,… - геометрична прогресія, у якій ${b_1} = 1$, q=3;

$3,1,\frac{1}{3},\frac{1}{9}{,...3^{n - 2}},...$ - геометрична прогресія, у якій ${b_1} = 3,q = \frac{1}{3}$.

     Визначається n-й член геометричної прогресії за формулою

${b_n} = {b_1} \cdot {q^{n - 1}}$,

де n – номер члена, ${b_n}$ - n-й член, ${b_1}$ - перший член, q – знаменник прогресії.

     Модуль кожного члена геометричної прогресії, починаючи з другого, є середнім геометричним двох сусідніх членів:

$|{b_n}| = \sqrt {{b_{n - 1}} \cdot {b_{n + 1}}}$.

     Якщо всі члени числової послідовності, починаючи з другого задовольняють умові

$|{b_n}| = \sqrt {{b_{n - 1}} \cdot {b_{n + 1}}}$,

то ця послідовність є геометричною прогресією.

     Суму перших n членів геометричної прогресії можна знайти і за формулою

${S_n} = {b_1} + {b_2} + ... + {b_n} = {b_1} \cdot \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}$.

     Нескінченно спадна геометрична прогресія – це нескінченна геометрична прогресія, знаменник q якої за модулем є меншим за 1, тобто |q|<1.

     Сумою всіх членів нескінченної спадної геометричної прогресії

${S_n} = {b_1} + {b_2} + ... + {b_n} + ...$

є границя, до якої прямує сума n її перших членів при нескінченному зростанні n ($n \to \infty$).

$S = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n}$.

     Ця сума визначається за формулою

$S = \frac{{{b_1}}}{{1 - q}}$.

    Приклад. Обчисліть суму.

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}} + ... = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2$.

     Відповідь: 2.