Друкувати книгуДрукувати книгу

ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ. АРИФМЕТИЧНА ТА ГЕОМЕТРИЧНА ПОСЛІДОВНОСТІ

Числові послідовності. Арифметична та геометрична прогресії

Сайт: Підготовка до ЗНО - Освітній портал "Академія"
Курс: Підготовка до ЗНО з математики. Алгебра.
Книга: ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ. АРИФМЕТИЧНА ТА ГЕОМЕТРИЧНА ПОСЛІДОВНОСТІ
Надруковано: Гість
Дата: Thursday 18 July 2024 5:53 PM

1. Арифметична прогресія

     Арифметичною прогресією називають послідовність {a_1},{a_2},...{a_n},..., кожен член якої,починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається одне й те саме число d, яке називають різницею арифметичної прогресії:

{a_{n + 1}} = {a_n} + d,n \in N.

    Наприклад: 1, 2, 3, 4,…, n,… - арифметична прогресія, у якій {a_1} = 1, d=1; 2, 4, 6,…, 2n,… - арифметична прогресія, у якій {a_1} = 2, d=2.

     Визначається n-й член арифметичної прогресії за формулою

{a_n} = {a_1} + d(n - 1),

де n – номер члена, {a_n} - n-й член, {a_1} - перший член, d – різниця прогресії.

     Кожний член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх членів:

{a_n} = \frac{{{a_{n - 1}} + {a_{n + 1}}}}{2}.

     Якщо всі члени деякої числової послідовності, починаючи з другого, задовольняють умові {a_n} = \frac{{{a_{n - 1}} + {a_{n + 1}}}}{2}, то ця послідовність є арифметичною прогресією.

     Сума перших n членів арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному першого і n-го членів цієї прогресії, помноженому на їх кількість:

{S_n} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n} = \frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} \cdot n.

     Суму перших n членів арифметичної прогресії можна знайти і за формулою

{S_n} = \frac{{2{a_1} + d(n - 1)}}{2} \cdot n.

2. Геометрична прогресія

     Геометричною прогресією називають послідовність {b_1},{b_2},...,{b_n},..., кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число q (q≠0, |q|≠1), яке називають знаменником геометричної прогресії:

{b_{n + 1}} = {b_n} \cdot q, де q \ne 0,|q| \ne 1,n \in N.

    Наприклад: 1, 3, 9,…, 3n-1,… - геометрична прогресія, у якій {b_1} = 1, q=3;

3,1,\frac{1}{3},\frac{1}{9}{,...3^{n - 2}},... - геометрична прогресія, у якій {b_1} = 3,q = \frac{1}{3}.

     Визначається n-й член геометричної прогресії за формулою

{b_n} = {b_1} \cdot {q^{n - 1}},

де n – номер члена, {b_n} - n-й член, {b_1} - перший член, q – знаменник прогресії.

     Модуль кожного члена геометричної прогресії, починаючи з другого, є середнім геометричним двох сусідніх членів:

|{b_n}| = \sqrt {{b_{n - 1}} \cdot {b_{n + 1}}} .

     Якщо всі члени числової послідовності, починаючи з другого задовольняють умові

|{b_n}| = \sqrt {{b_{n - 1}} \cdot {b_{n + 1}}} ,

то ця послідовність є геометричною прогресією.

     Суму перших n членів геометричної прогресії можна знайти і за формулою

{S_n} = {b_1} + {b_2} + ... + {b_n} = {b_1} \cdot \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}.

3. Нескінченно спадна геометрична прогресія

     Нескінченно спадна геометрична прогресія – це нескінченна геометрична прогресія, знаменник q якої за модулем є меншим за 1, тобто |q|<1.

     Сумою всіх членів нескінченної спадної геометричної прогресії

{S_n} = {b_1} + {b_2} + ... + {b_n} + ...

є границя, до якої прямує сума n її перших членів при нескінченному зростанні n (n \to \infty ).

S = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n}.

     Ця сума визначається за формулою

S = \frac{{{b_1}}}{{1 - q}}.

    Приклад. Обчисліть суму.

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}} + ... = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2.

     Відповідь: 2.