СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС І КОТАНГЕНС ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТУ

     Крім градусної міри, існує радіанна міра вимірювання кутів. Одиницею радіанної міри кутів є радіан.

     Кут величиною 1 радіан – це кут із вершиною в центрі кола, що спирається на дугу кола, довжина якого дорівнює радіусу цього кола.

     Оскільки довжина півкола радіуса R дорівнює πR, то розгорнутий кут дорівнює π радіан, оскільки $\frac{{\pi R}}{R} = \pi$. Градусна міра розгорнутого кута дорівнює 180°, тому π=180°. Звідси $1rad = \frac{{180^\circ }}{\pi } = 57^\circ 17'45''$. Отже, зі співвідношення π=180° можна переходити від градусів до радіанів і навпаки. Зокрема, $1^\circ  = \frac{\pi }{{180^\circ }} = 0,017rad$.

     Розглянемо приклади переходу від радіанної міри до градусної і навпаки.

    Приклад 1. Виразіть у радіанах величини кутів 30°; 45°; 60°; 90°.

     Розділивши ліву і праву частини рівності 180°=π рад послідовно на 6, 4, 3, 2, одержуємо:

$30^\circ = \frac{\pi }{6}rad;45^\circ = \frac{\pi }{4}rad;60^\circ = \frac{\pi }{3}rad;90^\circ = \frac{\pi }{2}rad$.

    Приклад 2. Виразіть у градусах величини кутів  рад,  рад,  рад,  рад.

     Розділивши ліву і праву частини рівності 180°=π рад послідовно на 10; 5; 12; 18, одержуємо:

$\frac{\pi }{{10}}$ рад=18°; $\frac{\pi }{{5}}$ рад=36°; $\frac{\pi }{{12}}$ рад=15°; $\frac{\pi }{{18}}$ рад=10°.

     При записі радіанної міри кута позначення «рад» опускають.

    Наприклад: замість рівності 90°= $\frac{\pi }{2}$ рад, пишуть 90°= $\frac{\pi }{2}$.

     Радіанна міра кута зручна для обчислення довжини дуги кола. Через те, що кут величиною 1 радіан стягує дугу, довжина якої дорівнює R, кут величиною α радіан стягує дугу довжиною: l=αR.

Якщо радіус кола дорівнює одиниці, то l=α, тобто довжина дуги дорівнює величині центрального кута, що спирається на цю дугу, в радіанах.

     Розглянемо на координатній площині коло радіуса 1 із центром у початку координат, яке називають одиничним.

     Позначимо точку P₀ – правий кінець горизонтального діаметра. Поставимо у відповідність кожному дійсному числу α точку кола за такими правилами:

1) якщо α>0, то, рухаючись по колу з точки Р₀ у напрямі проти годинникової стрілки (додатний напрям обходу кола), опишемо по колу шлях довжиною α. Кінцева точка цього шляху і буде шуканою точкою Р_α;

2) якщо α<0, то, рухаючись із точки Р₀ у напрямі за годинниковою стрілкою, опишемо по колу шлях довжиною |α|. Кінець цього шляху і буде шуканою точкою Р_α;

3) якщо α=0, то поставимо у відповідність точку Р₀.

     Таким чином, кожному дійсному числу можна поставити у відповідність Р_α одиничного кола.

     Якщо α=α₀+2πk, де k – ціле число, то при повороті на кут α одержуємо ту саму точку, що й при повороті на кут α₀.

     Якщо точка Р відповідає числу α, то вона відповідає і всім числам виду α+2πk, де 2π – довжина кола (бо радіус дорівнює 1), а k – ціле число, що показує кількість повних обходів кола в тому чи іншому напрямі.

    Синусом числа α називають ординату точки Р_α, утвореної поворотом точки Р₀(1;0) навколо початку координат на кут α радіан (позначають sin α).

     Синус визначено для будь-якого числа α.

    Косинусом числа α називають абсцису точки Р_α, утвореної поворотом точки Р₀(1;0) навколо початку координат на кут α радіан (cos α).

     Косинус визначено для будь-якого числа α.

    Тангенсом числа α називають відношення синуса числа α до його косинуса

$tg\;\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$.

     Тангенс визначено для всіх α, крім тих значень, для яких cos α=0, тобто для $\alpha = \frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z$.

     Для розв’язування деяких задач корисно мати уявлення про лінію тангенсів.

     Проведемо дотичну t до одиничного кола в точці Р₀. Нехай α – довільне число, для якого cos α≠0, тоді точка Р_α (cos α; sin α) не лежить на осі ординат і пряма ОР_α перетинає дотичну t у деякій точці Т_α з абсцисою 1. Знайдемо ординату точки Т_α з ΔОР₀Т_α:

$\frac{y}{1} = tg\,\alpha ,y = tg\,\alpha$.

     Таким чином, ордината точки перетину прямих ОР_α і t дорівнює тангенсу числа α. Тому пряму t називають віссю тангенсів.

    Котангенс числа α – це відношення косинуса числа α до його синуса

$ctg\,\alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$.

     Котангенс визначено для всіх α, крім таких значень, для яких sin α=0, тобто для $\alpha = \pi n,n \in N$.

     Уведемо поняття лінії котангенсів.

     Проведемо дотичну q до одиничного кола в точці . Для довільного числа α, якщо sin α≠0, відповідна точка Р_α(cos α; sin α) не лежить на осі ОХ, тому пряма ОР_α перетинає пряму q в деякій точці Q_α з ординатою 1. Із трикутника $O{P_{\frac{\pi }{2}}}{Q_\alpha }$ маємо: $\frac{x}{1} = ctg\,\alpha$, звідси х=ctg α. Таким чином, абсциса точки перетину прямих ОР_α і q дорівнює котангенсу числа α, тому пряму q називають віссю котангенсів.

     Нижче наведено таблицю значень синусів, косинусів, тангенсів і котангенсів деяких кутів.