ТОТОЖНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ВИРАЗІВ

${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1,\alpha \in R;tg\,\alpha \cdot ctg\,\alpha = 1,\alpha \ne \frac{{\pi n}}{2},n \in Z;$

$1 + t{g^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }},\alpha \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z;1 + ct{g^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }},\alpha \ne \pi n,n \in Z.$

    Приклад 1. Знайдіть cos α, tg α, ctg α, якщо $\sin \alpha = - \frac{4}{5},\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$.

Розв’язання

     Оскільки ${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha$, то

$\cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \pm \sqrt {1 - {{( - \frac{4}{5})}^2}} = \pm \sqrt {1 - \frac{{16}}{{25}}} = \pm \sqrt {\frac{9}{{25}}} = \pm \frac{3}{5}$.

     Оскільки кут α лежить у ІІІ координатній чверті, то cos α<0.

     Отже, $\cos \alpha = - \frac{3}{5}$.

$tg\,\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \frac{4}{5}:( - \frac{3}{5}) = \frac{{4 \cdot 5}}{{5 \cdot 3}} = \frac{4}{3}$; $ctg\,\alpha = \frac{1}{{tg\,\alpha }} = \frac{3}{4}$.

     Відповідь: $- \frac{3}{5};\frac{4}{3};\frac{3}{4}$.

$\begin{array}{l}\sin (\alpha \pm \beta ) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta ;\\\cos (\alpha \pm \beta ) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta ;\\tg(\alpha \pm \beta ) = \frac{{tg\,\alpha \pm tg\,\beta }}{{1 \mp tg\,\alpha tg\,\beta }},\alpha ,\beta ,\alpha + \beta \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z.\end{array}$

$\begin{array}{l}\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha ;\\\cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha ;\\tg2\alpha = \frac{{2tg\,\alpha }}{{1 - t{g^2}\alpha }},\alpha \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi n}}{2},\alpha \ne \frac{\pi }{4} + \pi n,n \in Z.\end{array}$

$\begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha = \frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2};\\{\cos ^2}\alpha = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2};\\{(\sin \alpha + \cos \alpha )^2} = 1 + \sin 2\alpha .\end{array}$

$\begin{array}{l}|\cos \frac{\alpha }{2}| = \sqrt {\frac{{1 + \cos \alpha }}{2}} ;\\|\sin \frac{\alpha }{2}| = \sqrt {\frac{{1 - \cos \alpha }}{2}} ;\\tg\frac{\alpha }{2} = \frac{{\sin \alpha }}{{1 + \cos \alpha }} = \frac{{1 - \cos \alpha }}{{\sin \alpha }},\alpha \ne \pi k,k \in Z;\\ctg\frac{\alpha }{2} = \frac{{1 + \cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{\sin \alpha }}{{1 - \cos \alpha }},\alpha \ne \pi k,k \in Z;\\|tg\frac{\alpha }{2}| = \sqrt {\frac{{1 - \cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}} ,\alpha \ne \pi + 2\pi k,k \in Z.\end{array}$

$\begin{array}{l}\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha - \beta }}{2};\\\sin \alpha - \sin \beta = 2\sin \frac{{\alpha - \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha + \beta }}{2};\\\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \frac{{\alpha + \beta }}{2}\sin \frac{{\alpha - \beta }}{2};\\\cos \alpha - \cos \beta = - 2\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2}\sin \frac{{\alpha - \beta }}{2};\\tg\,\alpha + tg\,\beta = \frac{{\sin (\alpha + \beta )}}{{\cos \alpha \cos \beta }},\alpha ,\beta \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z;\\tg\,\alpha - tg\,\beta = \frac{{\sin (\alpha - \beta )}}{{\cos \alpha \cos \beta }},\alpha ,\beta \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z;\\ctg\,\alpha + ctg\,\beta = \frac{{\sin (\alpha + \beta )}}{{\sin \alpha \sin \beta }},\alpha ,\beta \ne \pi n,n \in Z;\\ctg\,\alpha - ctg\,\beta = \frac{{ - \sin (\alpha - \beta )}}{{\sin \alpha \sin \beta }},\alpha ,\beta \ne \pi n,n \in Z.\end{array}$

$\begin{array}{l}\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos (\alpha - \beta ) + \sin (\alpha - \beta ));\\\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos (\alpha - \beta ) + \cos (\alpha - \beta ));\\\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin (\alpha + \beta ) + \sin (\alpha - \beta )).\end{array}$

$\begin{array}{l}\sin \alpha = \frac{{2tg\frac{\alpha }{2}}}{{1 + t{g^2}\frac{\alpha }{2}}},\alpha \ne \pi + 2\pi n,n \in Z;\\\cos \alpha = \frac{{1 - t{g^2}\frac{\alpha }{2}}}{{1 + t{g^2}\frac{\alpha }{2}}},\alpha \ne \pi + 2\pi n,n \in Z;\\tg\,\alpha = \frac{{2tg\frac{\alpha }{2}}}{{1 - t{g^2}\frac{\alpha }{2}}},\alpha \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,\alpha \ne \pi + 2\pi n,n \in Z;\\\sin \alpha = \frac{{2tg\frac{\alpha }{2}}}{{2tg\frac{\alpha }{2}}},\alpha \ne \pi n,n \in Z.\end{array}$

     Формули зведення запам’ятовувати необов’язково. Для того, щоб записати будь-яку з них, можна користуватися таким правилом:

1. у правій частині формули ставиться той знак, який має ліва частина при умові $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$;

2. якщо в лівій частині формули кут дорівнює $\frac{\pi }{2} \pm \alpha ,\frac{{3\pi }}{2} \pm \alpha$, то синус замінюється на косинус, тангенс – на котангенс і навпаки. Якщо кут дорівнює π±α, то заміна не виконується.

     Розглянемо приклади.

     Приклад 2. Виразимо tg (π-α) через тригонометричну функцію кута α. Якщо вважати, що α – кут І чверті, то π-α буде кутом ІІ чверті. У ІІ чверті тангенс від’ємний, отже, у правій частині рівності слід поставити знак «мінус». Для кута π-α назва функції «тангенс» зберігається. Тому

tg (π-α)=-tg α.

     За допомогою формул зведення знаходжень значень тригонометричних функцій будь-якого числа можна звести до знаходження значень тригонометричних функцій чисел від 0 до .

    Приклад 3. Знайдіть значення $\sin \frac{\pi }{3}$.

     Маємо: $\sin \frac{\pi }{3} = \sin (2\pi + \frac{{2\pi }}{3}) = \sin \frac{\pi }{3} = \sin (\pi - \frac{\pi }{3}) = \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.