ТРИГОНОМЕТРИЧНІ І ОБЕРНЕНО ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

     Як відомо, функція y=sin x зростає на проміжку $[ - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ і набуває всіх значень від -1 до 1, тобто кожного свого значення набуває в єдиній точці області визначення. Отже, рівняння sin x=a, |a|≤1, на проміжку $[ - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ має єдиний корінь, який називають арксинусом числа а і позначають arcsin a.

     Арксинусом числа а називають сема число з проміжку $[ - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$, синус якого дорівнює а.

    Приклад 1. Знайдемо arcsin $\frac{1}{2}$.

arcsin $\frac{1}{2}$= $\frac{\pi }{2}$,бо $\sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}$.

    Приклад 2. Знайдемо arcsin $( - \frac{{\sqrt 2 }}{2})$.

arcsin $( - \frac{{\sqrt 2 }}{2})$= -$\frac{\pi }{4}$, бо $\sin ( - \frac{\pi }{4}) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

     Графік функції y=arcsin x одержимо із графіка функції y=sin x, $x \in [ - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$, перетворенням симетрії відносно прямої у=х.

Основні властивості функції y=arcsin x:

1. D(y)=[-1;1].

2. Е(у)= $[ - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$.

3. Графік симетричний відносно початку координат (функція непарна): arcsin (-x)=-arcsin x.

4. Функція зростаюча х₁>х₂, то arcsin x₁>arcsin x₂.

5. у=0, якщо х=0.

6. ${y_{\max }} = y(1) = \frac{\pi }{2};{y_{\min }} = y( - 1) = - \frac{\pi }{2}$.

    Зауваження

     При знаходженні області визначення треба пам’ятати якщо функція має вигляд y=arcsin (f(x)), то слід вважати -1≤f(x)≤1 (арксинус визначений лише для чисел, модуль яких не перевищує 1).

    Наприклад: якщо $y = \arcsin (3x - 1)$, то $- 1 \le 3x - 1 \le 1$, тобто $0 \le x \le \frac{2}{3}$.

     Функція y=cos x спадає на відрізку [0;π] і набуває всіх значень від -1 до 1, тому рівняння cos x=a, |a|≤1, на проміжку [0;π] має єдиний корінь, який називають арккосинусом числа а і позначають arccos a.

     Арккосинусом числа а називають таке число з проміжку [0;π], косинус якого дорівнює а.

    Приклад 1. Знайдемо arccos $\frac{1}{2}$.

arccos $\frac{1}{2}$= $\frac{\pi }{3}$, бо $\cos \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}$.

Приклад 2. Знайдемо arccos $- \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

arccos $- \frac{{\sqrt 2 }}{2}$= $\frac{{3\pi }}{4}$, бо $\cos \frac{{3\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

     Графік функції y=arccos x одержимо із графіка функції y=cos x, $x \in [0;\pi ]$, перетворенням симетрії відносно прямої у=х.

     Основні властивості функції y=arccos x:

1. D(y)=[-1;1].

2. Е(у)= $[0;\pi ]$.

3. Графік не симетричний ані відносно початку координат, ані відносно осі OY: arccos (-x)=π-arccos x.

4. Функція спадна. Якщо х₁>х₂, то arccos x₁<arccos x₂.

5. у=0, якщо х=1.

6. ${y_{\max }} = y( - 1) = \pi ,{y_{\min }} = y(1) = 0$.

    Зауваження

    При знаходженні області визначення треба пам’ятати якщо функція має вигляд y=arccos (f(x)), то слід вважати -1≤f(x)≤1 (арккосинус визначений лише для чисел, модуль яких не перевищує 1).

    Наприклад: якщо $y = \arccos (2x + 1)$, то $- 1 \le 2x + 1 \le 1$, тобто $- 1 \le x \le 0$.

     Функція y=tg x на проміжку $( - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$ зростає і набуває всіх значень із R, тому для будь якого а рівняння tg x=a має єдиний розв’язок із проміжку $( - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$, який називають арктангенсом числа а і позначають arctg a.

     Арктангенсом числа а називають таке число з проміжку $( - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$, тангенс якого дорівнює а.

    Приклад 1. arctg ${\sqrt 3 }$= $\frac{\pi }{2}$, бо $tg\frac{\pi }{3} = \sqrt 3$ і $\frac{\pi }{3} \in ( - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$.

    Приклад 2. arctg (-1)= -$\frac{\pi }{4}$, бо $tg( - \frac{\pi }{4}) = - 1$ і $- \frac{\pi }{4} \in ( - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$.

     Графік функції y=arctg x одержимо із графіка функції y=tg x, $x \in ( - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$, перетворенням симетрії відносно прямої у=х.

     Основні властивості функції y=arctg x:

1. D(y)=R.

2. Е(у)= $( - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$.

3. Графік симетричний відносно початку координат , функція непарна: arctg (-x)= -arctg x.

4. Функція зростаюча. Якщо х₁<х₂, то arctg x₁<arctg x₂.

5. у=0, якщо х=0.

6. у>0, якщо х>0; у<0, якщо х<0.

    Зауваження

     При знаходженні області визначення треба пам’ятати якщо функція має вигляд y=tg (f(x)), то слід вважати $f(x) \ne \frac{\pi }{2} + \pi n.n \in Z$ (тангенс чисел $\frac{\pi }{2} + \pi n.n \in Z$, не визначений).

    Наприклад: якщо $y = tg(x - \frac{\pi }{4})$, то $x - \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z$, тобто $x \ne \frac{{3\pi }}{4} + \pi n,n \in Z$.

     Функція y=ctg x на проміжку $(0;\pi )$ спадає і набуває всіх значень із R, тому для будь якого а рівняння ctg x=a має єдиний розв’язок із проміжку $(0;\pi )$, який називають арккотангенсом числа а і позначають arсctg a.

     Арккотангенсом числа а називають таке число з проміжку $(0;\pi )$, котангенс якого дорівнює а.

    Приклад 1. arсctg ${\sqrt 3 }$= $\frac{\pi }{6}$, бо $ctg\frac{\pi }{6} = \sqrt 3$ і $\frac{\pi }{6} \in (0;\pi)$.

    Приклад 2.  arсctg $-{\sqrt 3 }$= $\frac{5\pi }{6}$, бо $ctg\frac{5\pi }{6} = - \sqrt 3$ і $\frac{5\pi }{6} \in (0;\pi$.

     Графік функції y=arcсtg x одержимо із графіка функції y=сtg x, $x \in (0;\pi )$, перетворенням симетрії відносно прямої у=х.

     Основні властивості функції y=arcсtg x:

1. D(y)=R.

2. Е(у)= $(0;\pi )$.

3. Графік не симетричний ані відносно початку координат, ані відносно осі OY: arcctg (-x)=π-arcctg x.

4. Функція спадна. Якщо х₁<х₂, то arсctg x₁>arсctg x₂.

5. х=0, якщо у= $\frac{\pi }{2}$.

6. у>0 для всіх $x \in R$.

    Зауваження

     При знаходженні області визначення треба пам’ятати якщо функція має вигляд y=ctg (f(x)), то слід вважати $f(x) \ne \pi n.n \in Z$ (котангенс чисел $\pi n.n \in Z$, не визначений).

    Наприклад: якщо $y = ctg(2x - \frac{\pi }{4})$, то $2x - \frac{\pi }{4} \ne \pi n,n \in Z$, тобто $x \ne \frac{\pi }{8} + \frac{{\pi n}}{2},n \in Z$.