Аксіоми стереометрії. Паралельність прямих і площин у просторі

1. Площина

Уявлення про площину дають нам, наприклад, поверхня столу, віконного скла, спокійного озера. Площина, як і пряма, нескінченна. Площина не має «країв», вона є необмеженою фігурою.

На малюнках площину зображають у вигляді паралелограма або у вигляді довільної області.

                  

Площини позначають маленькими грецькими літерами: α, β, γ,…

Розділ геометрії, у якому вивчаються властивості фігур у просторі, називається стереометрією.

Основними фігурами у просторі є точки, прямі, площини.

Аксіоми стереометрії

1. Якою б не була площина, існують точки, що їй належать, й точки, які не належать їй.

Наприклад: точка А лежить у площині α (або належить площині α), а точка В знаходиться поза площиною α (або не належить площині α). Коротко це записується так:  .

Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку.

Якщо дві різні площини мають спільні точки, то кажуть, що вони перетинаються.

Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Наслідки з аксіом стереометрії

Теорема про існування і єдність площини, яка проходить через дану пряму і дану точку

Через пряму і точку поза нею можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Теорема про існування і єдність площини, яка проходить через три точки

Через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Якщо точки А, В, С не лежать на одній прямій, то площину, яка містить ці точки, позначають так: (АВС).

Теорема про належність прямої площині

Якщо дві точки прямої належать площині, то й уся пряма міститься в цій площині.

Із цієї теореми випливає, що пряма а може лежати в площині, а може і не належати площині α. Якщо пряма і площина мають лише одну спільну точку, то кажуть, що вони перетинаються.

2. Паралельність прямої і площини

     Дві прямі у просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині та не перетинаються.

    Наприклад: а та b паралельні. Паралельність прямих а та b позначається так: .

    Теорема про існування єдиної прямої, паралельної даній прямій

     Через точку, яка не лежить на прямій, можна провести пряму, паралельну цій прямій, до того ж тільки одну.

    Ознака паралельності прямих

     Дві прямі, паралельній третій прямій, паралельні, якщо , то .

     Дві прямі називають мимобіжними, якщо вони не лежать в одній площині.

    Наприклад: а і b мимобіжні.

    Ознака мимобіжності прямих

     Якщо одна із двох прямих лежить у деякій площині, а друга пряма перетинає цю площину в точці, яка не лежить на першій прямій, то ці прямі мимобіжні.

     Пряма та площина називаються паралельними,якщо вони не мають спільних точок.

    Наприклад: пряма а та площина α паралельні. Паралельність прямої а та площини α позначається так: .

    Ознака паралельності прямої та площини

     Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині. Якщо .

3. Паралельні площини і площини, що перетинаються

Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються.

Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

Наприклад: площини α та β паралельні. Паралельність площин α та β позначається так: .

Ознака паралельності площин

Дві прямі, що перетинаються, однієї площини паралельні відповідно двом прямим другої площини, то ці площини паралельні.

Наприклад: Якщо , то .

Існування єдиної площини, паралельної даній площині

Через точку, яка не належить даній площині, можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

Властивості паралельних площин

1. Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні.

Наприклад: , γ перетинає α по прямій а, γ перетинає β по прямій b, тоді .

2. Відрізки паралельних прямих, які розташовані між паралельними площинами, рівні.

Наприклад: , отже, АВ=CD.