Перпендикулярність прямих і площин у просторі. Відстані і кути у просторі

1. Кут між прямою та площиною. Перпендикуляр до площини. Теорема про три перпендикуляри

Кутом між прямою та площиною називається кут між прямою та її проекцією на площину.

Наприклад: якщо φ – кут між прямою та площиною, то 0°≤φ≤90°.

Кутом між похилою та площиною називається кут між похилою та її проекцією на дану площину.

Наприклад: якщо φ – кут між похилою та площиною, то 0°<φ<90°.

Пряма, яка перетинає площину, називається перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, яка лежить у цій площині. Перпендикулярність прямої а та площини α позначається так: .

Наприклад: пряма а перпендикулярна до площини α.

Властивості перпендикулярних прямої та площини

1. Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї ж площини, то ці прямі паралельні.

Наприклад: якщо , то .

2. Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих,  то вона перпендикулярна до іншої.

Наприклад: якщо , то .

3. Якщо пряма перпендикулярна до однієї із двох паралельних площин, то вона перпендикулярна й до іншої.

Наприклад: якщо , то .

4. Якщо дві різні площини перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, то ці площини паралельні.

Наприклад: якщо , то .

Перпендикуляром, проведеним із даної точки на дану площину, називається відрізок, який з’єднує дану точку з точкою площини та лежить на прямій, перпендикулярній до площини. Кінець цього відрізка, який лежить у площині, називається основою перпендикуляра.

Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називається будь-який відрізок, який з’єднує дану точку з точкою площини та не є перпендикуляром до площини. Кінець цього відрізка, який лежить у площині, називається основою похилої.

Відрізок, який з’єднує основи перпендикуляра та похилої, проведених з однієї і тієї ж точки, називається проекцією похилої на площину.

Наприклад: АВ – перпендикуляр до площини α, АС – похила до площини α, ВС – проекція похилої АС на площину α, В – основа перпендикуляра, С – основа похилої.

Якщо з даної точки проведено перпендикуляр та похилу, то перпендикуляр коротший за похилу.

Теорема про три перпендикуляри

Якщо пряма, яка лежить у площині, перпендикулярна до проекції похилої на цю площину, то вона перпендикулярна і до самої похилої. І навпаки: якщо пряма, яка лежить у площині, перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до самої проекції на цю площину.

Наприклад: АО – перпендикуляр, АВ – похила, ОВ – проекція похилої, с – пряма площини. Якщо , то , і навпаки: якщо , то . Пряма с може і не перетинатися з похилою АВ.

2. Двогранні кути. Лінійний кут двогранного кута. Перпендикулярність двох площин. Кут між площинами

Двогранні кути

Двогранним кутом називається фігура, яка утворена двома півплощинами зі спільною прямою, що обмежує її.

Півплощини називаються гранями двогранного кута, а пряма, що обмежує півплощини, – ребром двогранного кута.

Наприклад: α і β – грані, а – ребро двогранного кута.

Лінійний кут двогранного кута

Лінійним кутом двогранного кута називається кут між променями, по яких площина, яка перпендикулярна до ребра двогранного кута, перетинає грані.

Наприклад: , φ – лінійний кут двогранного кута.

Щоб побудувати лінійний кут двогранного кута, можна:

1. узяти точку на ребрі двогранного кута і побудувати промені, які виходять із цієї точки, лежать на гранях двогранного кута і перпендикулярні до ребра. Кут між побудованими променями і буде лінійним кутом двогранного кута.

Наприклад:  – лінійний кут.

2. узяти точку в одній із граней двогранного кута, опустити з неї перпендикуляр до другої грані та провести перпендикуляр до ребра двогранного кута. Кут між перпендикуляром до ребра і проекцією цього перпендикуляра на другу грань й буде лінійним кутом двогранного кута.

Наприклад:  – лінійний кут.

Перпендикулярність двох площин

Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, яка перпендикулярна до прямої перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих.

Наприклад: , бо .

Ознака перпендикулярності площин

Якщо площина проходить через пряму, яка перпендикулярна до другої площини, то ці площини перпендикулярні.

Наприклад: якщо  і β проходить через b, то .

Властивості перпендикулярних площин

1. Будь-яка площина, перпендикулярна до лінії перетину перпендикулярних площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих.

Наприклад: якщо , то .

2. Якщо пряма, яка лежить в одній із двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до лінії їх перетину, то вона перпендикулярна і до другої площини.

Наприклад: якщо , то .

Кут між площинами

Кут між паралельними площинами вважається таким, що дорівнює нулю.

Кутом між площинами, які перетинаються, називається кут між прямими перетину даних площин із площиною, яка перпендикулярна до лінії перетину даних площин.

Наприклад: якщо , то φ – кут між площинами, 0°≤φ≤90°.

Відстані у просторі

Відстань від точки до площини – довжина перпендикуляра, опущеного з цієї точки на площину.

Наприклад: , ОА – відстань від точки А до площини α.

Якщо точка лежить на площині, то відстань від точки до площини дорівнює нулю.

Відстань від точки до прямої – довжина перпендикуляра, опущеного з цієї точки на пряму.

Наприклад: АО – відстань від точки А до прямої а.

Якщо точка лежить на прямій, відстань від точки до прямої дорівнює нулю.

Відстань між паралельними прями – відстань від будь-якої точки однієї прямої до другої прямої. Ця відстань дорівнює довжині спільного перпендикуляра (відрізка, перпендикулярного до цих прямих і кінці якого лежать на цих прямих).

Наприклад: АВ – відстань між прямими а і b.

Відстань між паралельною прямою і площиною – відстань від будь-якої точки цієї прямої до площини. Ця відстань дорівнює довжині спільного перпендикуляра (відрізка, перпендикулярного до прямої і площини, один кінець якого належить прямій, а інший – площині).

Наприклад: АО – відстань від прямої а до площини α.

Відстань між паралельними площинами – відстань від будь-якої точки однієї площини до другої площини. Ця відстань дорівнює довжині спільного перпендикуляра (відрізка, перпендикулярного до цих площин, кінці якого лежать у цих площинах).

Наприклад: АВ – відстань між площинами α і β.

Відстань між мимобіжними прямими – довжина їх спільного перпендикуляра (відрізка, перпендикулярного до прямих, кінці якого лежать на цих прямих). Ця відстань дорівнює відстані між паралельними площинами, які містять ці прямі, або дорівнює відстані від будь-якої точки однієї прямої до площини, що проходить через другу пряму і паралельна першій.

Наприклад: АВ – відстань між прямими а і b.