Декартові координати у просторі

1. Визначення декартових координат у просторі

     Декартова система координат у просторі задається трійкою попарно перпендикулярних осей (вісь ОХ – вісь абсцис, вісь ОУ – вісь ординат, вісь OZ – вісь аплікат), які мають спільний початок О (початок координат) і однаковий масштаб уздовж осей.

     Кожній точці простори за певним правилом ставиться у відповідність трійка чисел – абсциса, ордината та апліката (х;у;z). які називаються декартовими координатами точки. Ці координати визначаються в такий спосіб: через точку А проводимо три площини, паралельні координатним площинам YOZ, XOZ, XOY. Із координатними осями OX, OY, OZ площини перетнуться в точках х_А, у_А, z_A. Число х, абсолютна величина якого дорівнює довжині відрізка ОХ_А, називається абсцисою точки А. Це число буде додатним, якщо х_А належить додатній півосі ОХ, і від’ємним, якщо лежить на від’ємній півосі.

      Аналогічно визначаються ордината у та апліката z точки А.

     Декартові координати у просторі записують у дужках поруч із буквеним позначенням точки А(х;у;z), причому першою в дужках стоїть абсциса, другою – ордината, третьою – апліката.

     Для точок площини ХОY апліката z дорівнює нулю, для точок площини XOZ – ордината у дорівнює нулю, для точок площини YOZ – абсциса х дорівнює нулю.

     Наприклад: точка А має координати 2;3;3, що записується так: А(2;3;3).

     Будь-якій трійці чисел х, у, z відповідає лише одна точка площини А(х;у;z).

     Приклад 1. Задано точки А(1;2;3), В(0;1;2), С(1;0;0), D(1;0;2). Які з цих точок лежать: 1) у площині XOZ; 2) на осі ОХ; 3) у площині YOZ?

Розв’язання

1. Якщо точка лежить у площині XOZ, то координата у дорівнює 0, у площині XOZ лежать точки С(1;0;0), D(1;0;2).
2. Якщо точка лежить на осі ОХ, то координата у і z дорівнюють нулю, отже, на осі ОХ лежить точка С(1;0;0).
3. У площині YOZ лежить точка В(0;1;2).

     Відповідь: 1) С, D; 2) С; 3) В.

2. Відстань між двома точками

     Відстань між двома точками дорівнює квадратному кореню із суми квадратів різниць однойменних координат.

Відстань між двома точками в просторі

,

де d – відстань між точкою А₁ із координатами (х₁;у₁;z₁) і точкою А₂ із координатами (х₂;у₂;z₂).

     Приклад 2. Задано точки А(1;2;3), В(2;3;1), С(3;1;2). Знайдіть периметр трикутника АВС.

Розв’язання

Оскільки

,

,

,

то .

     Відповідь: .

3. Координати середини відрізка

     Координати середини відрізка дорівнюють півсумі відповідних координат його кінців.

Координати середини відрізка на площині

      Координати (х_с;у_с;z_c) точки С, що є серединою відрізка, визначаються за формулами

,

де (х₁;у₁;z₁) і (х₂;у₂;z₂) – координати точок А₁ і А₂, що є кінцями відрізка.

     Приклад 3. Знайдіть координати точки С – середини відрізка АВ, якщо А(1;2;3), В(-3;2;1).

Розв’язання

     Оскільки А(1;2;3), В(-3;2;1) і АС=СВ, то

.

     Отже, С(-1;2;2).

     Відповідь: С(-1;2;2).

4. Рівняння фігури

     Рівнянням фігури в декартових координатах у просторі називається рівняння із трьома невідомими х, у, z, які задовольняють координати будь-якої точки фігури, і тільки вони.

Рівняння сфери

     Якщо в просторі задано деяку точку з координатами С(а,b,c), що є центром сфери, а також радіус R, то рівняння сфери має вигляд

.

     Якщо центром сфери є початок координат, то маємо

.

     Приклад 4. Складіть рівняння сфери з центром в точці В(1;1;3), якщо відомо, що сфера проходить через точку М(2;0;-1).

Розв’язання

     Знайдемо радіус R сфери

.

     Ураховуючи, що центр сфери міститься в точці В(1;1;3), а радіус R сфери дорівнює , матимемо рівняння сфери

.

     Відповідь: .

5. Перетворення фігур на площині

Симетрія

Паралельне перенесення

Гомотетія відносно точки О