Вектори у просторі

1. Координати вектора. Довжина вектора

1. Координати вектора

 Координати вектора  , що має початок в точці А і кінець в точці В, дорівнюють різниці відповідних координат точок В і А.

Координати вектора у просторі

     Якщо початком вектора є точка А(х_А;у_А;z_A), а кінцем – точка В(х_В;у_В;z_B), то

     2. Довжина вектора

Довжина вектора (абсолютна величина, або модуль) – довжина відрізка, що зображує вектор. Позначення: .

Довжина вектора у просторі

     Якщо є вектор, то = , де  – модуль вектора,  – його координати.

     Одиничним називається вектор , у якого .

     Нульовим називається вектор \, у якого початок і кінець збігаються. Нульовий вектор не має визначеного напрямку, а його модуль дорівнює нулю.

     Задача 1. Знайдіть координати і довжини векторів  і , якщо А(2;-3;-1), В(-4;-8;5), С(3;1;-2).

Розв’язання

 ( - 4 - 2; - 8 - ( - 3);5 - ( - 1)) =  ( - 6; - 5;6)\];

 (3 - 2;1 - ( - 3); - 2 - ( - 1)) = (1;4; - 1)\];

 = ;

 = .

     Відповідь: , ,\, .

Рівність векторів у просторі

Протилежні вектори у просторі

2. Дії з векторами у просторі

     Для трьох векторів (ОА, ОС і ОО₁), які не лежать в одній площині й мають спільний початком (О), їхня сума зображується діагоналлю паралелепіпеда (ОВ₁), побудованого на цих векторах, причому початок вектора-суми збігається з початком цих векторів.

     Координати вектора-суми векторів дорівнюють сумі відповідних координат даних векторів.

Сума векторів у просторі

Різниця векторів у просторі

Множення вектора на число у просторі

     Задача 2. Задано вектори .

Знайдіть координати векторів .

Розв’язання

;

;

     Відповідь: .

3. Колінеарність векторів у просторі

Якщо є вектори  і вони колінеарні, то .

Якщо є вектори , то  – колінеарні вектори.

     Задача 3. Знайдіть значення m і n, при яких вектори  колінеарні.

Розв’язання

     У колінеарних векторів координати пропорційні, звідси . Маємо два рівняння:

1)   ;

2)   .

     Відповідь: m=1, n=-10.

4. Скалярний добуток двох векторів

     Скалярним добутком двох векторів називається число, яке дорівнює сумі добутків відповідних координат цих векторів. Позначення таке саме, як і для добутку чисел, – .

Скалярний добуток двох векторів на площині

     Якщо є вектори , то .

     Теорема. Скалярний добуток двох векторів  дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.

     Отже, .

     Задача 4. Знайдіть кут між векторами  і .

Розв’язання

     Скористаємося формулою

,

;

;

;

тоді .

 Звідси .

  Відповідь: .

5. Ознака перпендикулярності векторів

     Якщо вектори перпендикулярні, то їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

      І навпаки, якщо скалярний добуток відмінних від нуля векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні.

     Задача 5. При якому значенні р вектори  і  взаємно перпендикулярні?

Розв’язання

     Два ненульові вектори перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

, тоді . Звідси р=5.

     Відповідь: р=5.