Друкувати книгуДрукувати книгу

Тригонометричні рівняння, нерівності

Тригонометричні рівняння, нерівності

Сайт: Підготовка до ЗНО - Освітній портал "Академія"
Курс: Підготовка до ЗНО з математики. Алгебра.
Книга: Тригонометричні рівняння, нерівності
Надруковано: Гість
Дата: Tuesday 7 July 2020 12:01 AM

1. Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь

Рівняння \cos t = a

Окремі випадки

Рівняння \sin t = a

Окремі випадки

Рівняння tg\;t = a,\quad ctg\;t = a

Окремі випадки

2. Методи розв’язування тригонометричних рівнянь

Зведення тригонометричних рівнянь до алгебрагічних

     Деякі тригонометричні рівняння можна привести шляхом тотожних перетворень до рівнянь з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і привести рівняння до алгебрагічного.

     Розглянемо приклади.

     Приклад 1. Розв’яжіть рівняння {\sin ^2}x + 4\cos x = 2,75.

Розв’язування

     Замінивши {\sin ^2}x на 1 - {\cos ^2}x, маємо:

1 - {\cos ^2}x + 4\cos x - 2,75 = 0,

 - {\cos ^2}x + 4\cos x - 1,75 = 0;

{\cos ^2}x - 4\cos x + 1,75 = 0.

     Нехай cos x=t, тоді {t^2} - 4t + 1,75 = 0. Звідси {t_1} = \frac{1}{2},{t_2} = \frac{7}{2} > 1.

     Оскільки {t_2} > 1, то \cos x = \frac{7}{2} - розв’язків немає.

     Оскільки {t_1} = \frac{1}{2}, то \cos x = \frac{1}{2},x = \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi n,n \in Z.

     Відповідь:  \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi n,n \in Z.

     Приклад 2. Розв’яжіть рівняння tg x+3ctg x=4.

Розв’язання

tg\,x + 3ctg\,x = 4;\quad tg\,x + \frac{3}{{tg\,x}} = 4.

     Нехай tg x=t, тоді t + \frac{3}{t} = 4,\;{t^2} - 4t + 3 = 0,\;{t_1} = 1,\;{t_2} = 3.

     Маємо:

1)               tg\,x = 1,\;x = \frac{\pi }{4} + \pi n,n \in Z;

2)               tg\,x = 3,\;x = arctg3 + \pi n,n \in Z .

     Відповідь: \frac{\pi }{4} + \pi n,arctg3 + \pi n,n \in Z.

Зведення тригонометричних рівнянь до рівнянь виду f(x)g(x)=0

     Багато тригонометричних рівнянь, права частина яких дорівнює 0, розв’язуються розкладанням їхньої лівої частини на множники.

     Розглянемо приклади.

     Приклад 3. Розв’яжіть рівняння 1 + \cos x - 2\cos \frac{x}{2} = 0.

Розв’язання

     Урахувавши, що 1 + \cos x = 2{\cos ^2}\frac{x}{2}, маємо

2{\cos ^2}\frac{x}{2} - 2\cos \frac{x}{2} = 0;\;2\cos \frac{x}{2}(\cos \frac{x}{2} - 1) = 0.

     Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один з множників дорівнює нулю. Тому:

1)               \cos \frac{x}{2} = 0;\;\frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z;\;x = \pi + 2\pi n,n \in Z;

2)               \cos \frac{x}{2} = 1;\;\frac{x}{2} = 2\pi n,n \in Z;\;x = 4\pi n,n \in Z.

     Відповідь: \pi + 2\pi n,4\pi n,n \in Z.

     Приклад 4. Розв’яжіть рівняння sin 2x-sin x=0.

Розв’язання

\sin 2x - \sin x = 0;\;2\sin \frac{{2x - x}}{2}\cos \frac{{2x + x}}{2} = 0;\;2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{{3x}}{2} = 0.

1)               \sin \frac{x}{2} = 0;\;\frac{x}{2} = \pi n,n \in Z;\;x = 2\pi n,n \in Z;

2)               \cos \frac{{3x}}{2} = 0;\;\frac{{3x}}{2} = \frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z;\;x = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi n}}{3},n \in Z.

     Відповідь: 2\pi n і \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi n}}{3},n \in Z .

3. Однорідні тригонометричні рівняння

     Розглянемо рівняння виду asin x+bcos x=0 (однорідне рівняння 1-го степеня), де а і b не дорівнюють нулю.

     Значення х  при cos x дорівнює нулю, не задовольняє даному рівнянню, бо тоді й sin x теж дорівнював би нулю, а cos x і sin x не можуть одночасно дорівнювати нулю. Тому можна розділити обидві частини рівняння почленно на cos x.

     Маємо:

\frac{{a\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{b\cos x}}{{\cos x}} = 0;\;a\,tg\,x + b = 0;\;tg\,x = - \frac{b}{a};\;tg\,x = - arctg\frac{b}{a} + \pi n,n \in Z.

     Рівняння виду a{\sin ^2}x + b\cos x\sin x + c{\cos ^2}x = 0 називається однорідним рівнянням 2-го степеня.

     Якщо числа а, b, с не дорівнюють нулю, то розділимо дане рівняння на {\cos ^2}x (або на {\sin ^2}x). (У даному рівнянні {\cos ^2}x \ne 0, бо у протилежному випадку {\sin ^2}x теж дорівнював би нулю, а cos x і sin x не можуть одночасно дорівнювати нулю.) Тоді

\frac{{a{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{b\cos x\sin x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{c{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 0.

     Розв’язавши отримане рівняння, одержимо корені даного рівняння.

     Рівняння виду {a_n}{\sin ^n}x + {a_{n - 1}}{\sin ^{n - 1}}x\cos x + ... + {a_1}\sin x{\cos ^{n - 1}}x + {a_0}{\cos ^n}x = 0 називається однорідним рівнянням n-го степеня відносно синуса і косинуса.

     Якщо жоден із коефіцієнтів {a_n},{a_{n - 1}},...,{a_1},{a_0} не дорівнює нулю, то розділивши обидві частини рівняння почленно на {\cos ^n}x, одержимо рівняння n-го степеня  відносно tg x.

     Якщо хоча б один із коефіцієнтів {a_n},{a_{n - 1}},...,{a_1},{a_0} дорівнює нулю, то перш ніж виконувати ділення на {\cos ^n}x, слід довести, що {\cos ^n}x \ne 0, тобто \cos x \ne 0.

     Приклад 5. Розв’яжіть рівняння {\cos ^2}x - 2\cos x\sin x = 0.

Розв’язання

     Ділити обидві частини на {\cos ^2}x не можна, бо {\cos ^2}x = 0 є розв’язком даного рівняння. Це рівняння можна розв’язати у такі способи.

     І спосіб (винесення множника)

{\cos ^2}x - 2\cos x\sin x = 0;\;\cos x(\cos x - 2\sin x) = 0.

     Звідси cos x=0 або cos x-2sin x=0

1)           \cos x = 0;\;x = \frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z;

2)          \cos x - 2\sin x = 0;\;\frac{{\cos x}}{{\cos x}} - \frac{{2\sin x}}{{\cos x}} = 0;\;1 - 2tg\,x = 0;\;tg\,x = \frac{1}{2};\;,

x = arctg\frac{1}{2} + \pi n,n \in Z.

     Відповідь: \frac{\pi }{2} + \pi n;arctg\frac{1}{2} + \pi n,n \in Z.

     ІІ спосіб. Розділимо обидві частини на {\sin ^2}x, оскільки \sin x \ne 0 у даному рівнянні, бо у протилежному випадку \cos x = 0, що неможливо.

\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{{2\cos x\sin x}}{{{{\sin }^{^2}}x}} = 0;\;ct{g^2}x - 2ctg\;x = 0;\;ctg\;x(ctg\;x - 2) = 0.

     Звідси ctg x=0 або ctg x-2=0.

1)               ctg\;x = 0;\quad x = \frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z;

2)               ctg\;x - 2 = 0;\quad x = arcctg2 + \pi n,n \in Z.

     Відповідь: \frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z;\;arcctg2 + \pi n,n \in Z.

4. Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей