Тригонометричні рівняння, нерівності

Рівняння $\cos t = a$

Окремі випадки

Рівняння $\sin t = a$

Окремі випадки

Рівняння $tg\;t = a,\quad ctg\;t = a$

Окремі випадки

Зведення тригонометричних рівнянь до алгебрагічних

     Деякі тригонометричні рівняння можна привести шляхом тотожних перетворень до рівнянь з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і привести рівняння до алгебрагічного.

     Розглянемо приклади.

     Приклад 1. Розв’яжіть рівняння ${\sin ^2}x + 4\cos x = 2,75$.

Розв’язування

     Замінивши ${\sin ^2}x$ на $1 - {\cos ^2}x$, маємо:

$1 - {\cos ^2}x + 4\cos x - 2,75 = 0$,

$- {\cos ^2}x + 4\cos x - 1,75 = 0$;

${\cos ^2}x - 4\cos x + 1,75 = 0$.

     Нехай cos x=t, тоді ${t^2} - 4t + 1,75 = 0$. Звідси ${t_1} = \frac{1}{2},{t_2} = \frac{7}{2} > 1$.

     Оскільки ${t_2} > 1$, то $\cos x = \frac{7}{2}$ - розв’язків немає.

     Оскільки ${t_1} = \frac{1}{2}$, то $\cos x = \frac{1}{2},x = \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi n,n \in Z$.

     Відповідь: $\pm \frac{\pi }{3} + 2\pi n,n \in Z$.

     Приклад 2. Розв’яжіть рівняння tg x+3ctg x=4.

Розв’язання

$tg\,x + 3ctg\,x = 4;\quad tg\,x + \frac{3}{{tg\,x}} = 4$.

     Нехай tg x=t, тоді $t + \frac{3}{t} = 4,\;{t^2} - 4t + 3 = 0,\;{t_1} = 1,\;{t_2} = 3$.

     Маємо:

1)               $tg\,x = 1,\;x = \frac{\pi }{4} + \pi n,n \in Z$;

2)               $tg\,x = 3,\;x = arctg3 + \pi n,n \in Z$ .

     Відповідь: $\frac{\pi }{4} + \pi n,arctg3 + \pi n,n \in Z$.

Зведення тригонометричних рівнянь до рівнянь виду f(x)g(x)=0

     Багато тригонометричних рівнянь, права частина яких дорівнює 0, розв’язуються розкладанням їхньої лівої частини на множники.

     Розглянемо приклади.

     Приклад 3. Розв’яжіть рівняння $1 + \cos x - 2\cos \frac{x}{2} = 0$.

Розв’язання

     Урахувавши, що $1 + \cos x = 2{\cos ^2}\frac{x}{2}$, маємо

$2{\cos ^2}\frac{x}{2} - 2\cos \frac{x}{2} = 0;\;2\cos \frac{x}{2}(\cos \frac{x}{2} - 1) = 0$.

     Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один з множників дорівнює нулю. Тому:

1)               $\cos \frac{x}{2} = 0;\;\frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z;\;x = \pi + 2\pi n,n \in Z$;

2)               $\cos \frac{x}{2} = 1;\;\frac{x}{2} = 2\pi n,n \in Z;\;x = 4\pi n,n \in Z$.

     Відповідь: $\pi + 2\pi n,4\pi n,n \in Z$.

     Приклад 4. Розв’яжіть рівняння sin 2x-sin x=0.

Розв’язання

$\sin 2x - \sin x = 0;\;2\sin \frac{{2x - x}}{2}\cos \frac{{2x + x}}{2} = 0;\;2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{{3x}}{2} = 0$.

1)               $\sin \frac{x}{2} = 0;\;\frac{x}{2} = \pi n,n \in Z;\;x = 2\pi n,n \in Z$;

2)               $\cos \frac{{3x}}{2} = 0;\;\frac{{3x}}{2} = \frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z;\;x = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi n}}{3},n \in Z$.

     Відповідь: $2\pi n$ і $\frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi n}}{3},n \in Z$ .

     Розглянемо рівняння виду asin x+bcos x=0 (однорідне рівняння 1-го степеня), де а і b не дорівнюють нулю.

     Значення х  при cos x дорівнює нулю, не задовольняє даному рівнянню, бо тоді й sin x теж дорівнював би нулю, а cos x і sin x не можуть одночасно дорівнювати нулю. Тому можна розділити обидві частини рівняння почленно на cos x.

     Маємо:

$\frac{{a\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{b\cos x}}{{\cos x}} = 0;\;a\,tg\,x + b = 0;\;tg\,x = - \frac{b}{a};\;tg\,x = - arctg\frac{b}{a} + \pi n,n \in Z$.

     Рівняння виду $a{\sin ^2}x + b\cos x\sin x + c{\cos ^2}x = 0$ називається однорідним рівнянням 2-го степеня.

     Якщо числа а, b, с не дорівнюють нулю, то розділимо дане рівняння на ${\cos ^2}x$ (або на ${\sin ^2}x$). (У даному рівнянні ${\cos ^2}x \ne 0$, бо у протилежному випадку ${\sin ^2}x$ теж дорівнював би нулю, а cos x і sin x не можуть одночасно дорівнювати нулю.) Тоді

$\frac{{a{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{b\cos x\sin x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{c{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 0$.

     Розв’язавши отримане рівняння, одержимо корені даного рівняння.

     Рівняння виду ${a_n}{\sin ^n}x + {a_{n - 1}}{\sin ^{n - 1}}x\cos x + ... + {a_1}\sin x{\cos ^{n - 1}}x + {a_0}{\cos ^n}x = 0$ називається однорідним рівнянням n-го степеня відносно синуса і косинуса.

     Якщо жоден із коефіцієнтів ${a_n},{a_{n - 1}},...,{a_1},{a_0}$ не дорівнює нулю, то розділивши обидві частини рівняння почленно на ${\cos ^n}x$, одержимо рівняння n-го степеня  відносно tg x.

     Якщо хоча б один із коефіцієнтів ${a_n},{a_{n - 1}},...,{a_1},{a_0}$ дорівнює нулю, то перш ніж виконувати ділення на ${\cos ^n}x$, слід довести, що ${\cos ^n}x \ne 0$, тобто $\cos x \ne 0$.

     Приклад 5. Розв’яжіть рівняння ${\cos ^2}x - 2\cos x\sin x = 0$.

Розв’язання

     Ділити обидві частини на ${\cos ^2}x$ не можна, бо ${\cos ^2}x = 0$ є розв’язком даного рівняння. Це рівняння можна розв’язати у такі способи.

     І спосіб (винесення множника)

${\cos ^2}x - 2\cos x\sin x = 0;\;\cos x(\cos x - 2\sin x) = 0$.

     Звідси cos x=0 або cos x-2sin x=0

1)           $\cos x = 0;\;x = \frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z$;

2)          $\cos x - 2\sin x = 0;\;\frac{{\cos x}}{{\cos x}} - \frac{{2\sin x}}{{\cos x}} = 0;\;1 - 2tg\,x = 0;\;tg\,x = \frac{1}{2};\;$,

$x = arctg\frac{1}{2} + \pi n,n \in Z$.

     Відповідь: $\frac{\pi }{2} + \pi n;arctg\frac{1}{2} + \pi n,n \in Z$.

     ІІ спосіб. Розділимо обидві частини на ${\sin ^2}x$, оскільки $\sin x \ne 0$ у даному рівнянні, бо у протилежному випадку $\cos x = 0$, що неможливо.

$\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{{2\cos x\sin x}}{{{{\sin }^{^2}}x}} = 0;\;ct{g^2}x - 2ctg\;x = 0;\;ctg\;x(ctg\;x - 2) = 0$.

     Звідси ctg x=0 або ctg x-2=0.

1)               $ctg\;x = 0;\quad x = \frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z$;

2)               $ctg\;x - 2 = 0;\quad x = arcctg2 + \pi n,n \in Z$.

     Відповідь: $\frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z;\;arcctg2 + \pi n,n \in Z$.