Корінь n-го степеня. Степінь із раціональним показником

     Коренем n-го степеня з числа а називається таке число, n-й степінь якого дорівнює а.

     Наприклад: корінь 3-го степеня з 8 дорівнює 2, оскільки ${2^3} = 8$. Коренем 4-го степеня з числа 1 дорівнює 1 або -1, оскільки ${1^4} = 1$ або ${( - 1)^4} = 1$.

     Арифметичним коренем n-го степеня з числа а називають невід’ємне число, n-й степінь якого дорівнює а, тобто $\sqrt[n]{a} = x$ означає ${x^n} = a$ або ${(\sqrt[n]{a})^n} = a$.

     Наприклад: $\sqrt[3]{{27}} = 3,\;\sqrt[4]{1} = 1,\;\sqrt[5]{{32}} = 2$.

     Арифметичний корінь парного степеня існує лише з невід’ємних чисел:

$\sqrt[{2k}]{a} = x,k \in N,a \ge 0$.

     Арифметичний корінь непарного степеня існує з будь-якого числа, оскільки $\sqrt[{2k + 1}]{{ - a}} = - \sqrt[{2k + 1}]{a}$, для $k \in N$.

     Справді, ${( - \sqrt[{2k + 1}]{a})^{2k + 1}} = {( - 1)^{2k + 1}}{(\sqrt[{2k + 1}]{a})^{2k + 1}} = - a$.

     Основні властивості коренів:

1. Для будь-якого дійсного х 

   $\sqrt[n]{{{x^n}}} = \left\{ \begin{array}{l}|x|,n - parne,\\x,n - neparne\end{array} \right.$

2. $\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b},a \ge 0,b \ge 0$.
3. $\sqrt[n]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}},a \ge 0,b \ne 0$.
4. $\sqrt[n]{{\sqrt[k]{a}}} = \sqrt[{nk}]{a},a \ge 0$.
5. $\sqrt[n]{a} = \sqrt[{nk}]{{{a^k}}},a \ge 0$.
6. $\sqrt[n]{{{a^k}}} = {(\sqrt[n]{a})^k},a \ge 0$.
7. ${(\sqrt[n]{a})^n} = a$.

     Степенем ${a^{\frac{m}{n}}}$ числа а>0 із раціональним показником $\frac{m}{n}$, де $m \in Z,n \in N(n > 1)$ називають число $\sqrt[n]{{{a^m}}}$. Отже, ${a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$.

     Наприклад: ${8^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{{{8^2}}} = 4;\;{32^{\frac{1}{5}}} = \sqrt[5]{{32}} = 2$.

     Степінь числа 0 визначений тільки для додатних показників за означенням:

${0^r} = 0$ для будь-якого $r > 0$.

     Для будь-яких раціональних чисел p і q і будь-яких додатних чисел a і b справедливі рівності:

${a^p} \cdot {a^q} = {a^{p + q}};\;{a^p}:{a^q} = {a^{p - q}}$;

${({a^p})^q} = {a^{pq}};\;{(ab)^p} = {a^p} \cdot {b^p}$;

${(\frac{a}{b})^p} = \frac{{{a^p}}}{{{b^p}}};\;{(\frac{a}{b})^{ - p}} = {(\frac{b}{a})^p}$.