Степеневі функції та їх властивості. Ірраціональні рівняння, нерівності та їх системи

     Степеневою функцією називається функція виду $y = {x^p}$, де р – стале дійсне число, а х (основа) – змінна. Властивості та графіки степеневих функцій подано в таблиці 1.

Функція $y = {x^p}$

Таблиця 1.

     При знаходженні області визначення слід памятати, якщо функція має вигляд $y = {x^p}$, то:

1)                якщо α – натуральне число, то D(y)=R;

2)               якщо α – ціле від’ємне число або нуль, то $D(y) = ( - \infty ;0) \cup (0; + \infty )$;

3)               якщо α – додатне неціле число, то D(y)=[0;+∞);

4)               якщо α – від’ємне неціле число, то D(y)=(0;+∞).

Функція $y = \sqrt[n]{x}$

     Властивості та графіки функції $y = \sqrt[n]{x}$ подано в таблиці 2.

Таблиця 2.

     Якщо функція має вигляд $y = \sqrt[{2k}]{{f(x)}},k \in N$, то слід вважати f(x)≥0 (арифметичний корінь парного степеня існує тільки з невід’ємних чисел).

     Наприклад: якщо $y = \sqrt[6]{{6 - x}}$, то $6 - x \ge 0$, тобто D(y)=(-∞;6].

     Рівняння, у яких під знаком кореня міститься змінна (невідома), називають ірраціональними.

     Наприклад: $\sqrt[3]{{x - 2}} + 3 = 0,\;\sqrt x = \sqrt x + x$ - ірраціональні рівняння.

     Розв’язування ірраціональних рівнянь ґрунтується на приведенні їх за допомогою деяких перетворень до раціонального рівняння. Як правило, це досягається піднесенням обох частин ірраціонального рівняння до одного і того самого степеня (інколи кілька разів).

     При піднесенні обох частин рівняння до парного степеня одержане рівняння може мати корені, що не задовольняють даному рівнянню. Такі корені називаються сторонніми для даного рівняння. (Це відбувається тому, що з рівності парних степенів двох чисел не випливає рівність цих чисел.)

Наприклад: ${( - 5)^2} = {5^2}$, але -5≠5.

     Тому слід обов’язково робити перевірку одержаних коренів.

     Приклад 1. Розв’яжіть рівняння $\sqrt {x + 1} = - 3$.

Розв’язання

     Рівняння $\sqrt {x + 1} = - 3$ не має коренів, оскільки радикал із парним показником $\sqrt {x + 1}$ не може бути від’ємним.

     Приклад 2. Розв’яжіть рівняння $\sqrt {x - 2} = 2 - x$.

Розв’язання

${(\sqrt {x - 2} )^2} = {(2 - x)^2};\;x - 2 = 4 - 4x + {x^2};\;{x^2} - 5x + 6 = 0;\;x = 2\;abo\;x = 3$.

     Перевірка: 1) $\sqrt {2 - 2} = 2 - 2$;

                            2) $\sqrt {3 - 2} \ne 2 - 3$.

     Отже, х=3 сторонній корінь.

     Відповідь: 2.