Приклади розв'язування завдань

     Завдання. Розв’яжіть рівняння ${2^{x - 2}} = - 2$.

Розв’язання

     Оскільки ${2^{x - 2}} > 0$ при всіх значення х, то рівняння коренів не має.

     Відповідь: немає коренів.

     Завдання. Розв’яжіть рівняння ${2^x} \cdot {5^x} = 0,1{({10^{x - 1}})^3}$.

Розв’язання

${2^x} \cdot {5^x} = 0,1{({10^{x - 1}})^3};\;{10^x} = {10^{ - 1}} \cdot {10^{3x - 3}};\;{10^x} = {10^{3x - 4}};\;x = 3x - 4;\;x = 2$.

     Відповідь: 2.

     Завдання. Розв’яжіть рівняння ${3^x} - 2 \cdot {3^{x - 2}} = 63$.

Розв’язання

$\begin{array}{l}{3^x} - 2 \cdot {3^{x - 2}} = 63;\;{3^{x - 2}}({3^2} - 2) = 63;\;{3^{x - 2}} \cdot 7 = 63;\;{3^{x - 2}} = 9;\;x - 2 = 2;\\x = 4.\end{array}$

     Відповідь: 4.

     Завдання. Розв’яжіть рівняння ${5^{2x - 1}} - {5^{2x}} + {2^{2x}} + {2^{2x + 2}} = 0$.

Розв’язання

$\begin{array}{l}{5^{2x - 1}} - {5^{2x}} + {2^{2x}} + {2^{2x + 2}} = 0;\;{2^{2x}} + {2^{2x + 2}} = {5^{2x}} - {5^{2x - 1}};\;{2^{2x}}(1 + {2^2}) = {5^{2x}}(1 - {5^{ - 1}});\\\;{2^{2x}} \cdot 5 = {5^{2x}} \cdot \frac{4}{5};\;\frac{{{2^{2x}}}}{{{5^{2x}}}} = \frac{4}{{25}};\;{(\frac{2}{5})^{2x}} = {(\frac{2}{5})^2};\;2x = 2;\;x = 1.\end{array}$

Відповідь: 1.

     Завдання. Розв’яжіть рівняння ${49^x} - 8 \cdot {7^x} + 7 = 0$.

Розв’язання

${49^x} - 8 \cdot {7^x} + 7 = 0;\;{({7^2})^x} - 8 \cdot {7^x} + 7 = 0;\;{({7^x})^2} - 8 \cdot {7^x} + 7 = 0$.

Нехай ${7^x} = t$, тоді ${t^2} - 8t + 7 = 0;\;{t_1} = 7;\;{t_2} = 1$.

Отже, 1) ${7^x} = 7;\;x = 1$;

            2) ${7^x} = 1;\;{7^x} = {7^0};\;x = 0$.

Відповідь: 1; 0.

     Завдання. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання

$\begin{array}{l}3 \cdot {16^x} + 2 \cdot {81^x} = 5 \cdot {36^x};\;3 \cdot {4^{2x}} + 2 \cdot {9^{2x}} = 5 \cdot {4^x} \cdot {9^x};\;\frac{{3 \cdot {4^{2x}}}}{{{9^{2x}}}} + \frac{{2 \cdot {9^{2x}}}}{{{9^{2x}}}} = \frac{{5 \cdot {4^x} \cdot {9^x}}}{{{9^{2x}}}};\\3 \cdot {(\frac{4}{9})^{2x}} - 5 \cdot {(\frac{4}{9})^x} + 2 = 0.\end{array}$

     Заміна ${(\frac{4}{9})^x} = y$, тоді $3{y^2} - 5y + 2 = 0$, звідси ${y_1} = \frac{2}{3};\;{y_2} = 1$.

     Отже, 1) ${(\frac{4}{9})^x} = \frac{2}{3};\;{(\frac{2}{3})^{2x}} = \frac{2}{3};\;2x = 1;\;x = \frac{1}{2}$;

                  2) ${(\frac{4}{9})^x} = 1;\;x = 0$.

Відповідь: $0;\;\frac{1}{2}$.

     Завдання. Розв’яжіть систему рівнянь 

$\left\{ \begin{array}{l}{2^x} + {2^y} = 6,\\x + y = 3.\end{array} \right.$

Розв’язання

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{2^x} + {2^y} = 6,\\x + y = 3.\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}{2^x} + {2^y} = 6,\\x = 3 - y;\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}{2^{3 - y}} + 2y = 6,\\x = 3 - y;\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}\frac{8}{{{2^y}}} + {2^y} = 6;\\x = 3 - y;\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{(2y)^2} - 6 \cdot {2^y} + 8 = 0,\\x = 3 - y;\end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l}{2^y} = 4,\\x = 3 - y;\end{array} \right.abo\left\{ \begin{array}{l}{2^y} = 2,\\x = 3 - y;\end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l}y = 2,\\x = 3 - y;\end{array} \right.abo\left\{ \begin{array}{l}y = 1;\\x = 3 - y.\end{array} \right.\end{array}$

     Отже,

$\left\{ \begin{array}{l}y = 2,\\x = 1;\end{array} \right.\;i\;\left\{ \begin{array}{l}y = 1;\\x = 2\end{array} \right.$

 є розв’язками системи.

Відповідь: (1;2), (2;1).

     Завдання. Розв’яжіть систему рівнянь 

$\left\{ \begin{array}{l}{2^x} \cdot {3^y} = 12,\\{3^x} \cdot {2^y} = 18.\end{array} \right.\;$

Розв’язання

     Перемножимо і розділимо рівняння системи, тоді одержимо:

$\left\{ \begin{array}{l}{2^x} \cdot {3^y} \cdot {2^y} \cdot {3^x} = 12 \cdot 18,\\\frac{{{2^x} \cdot {3^y}}}{{{2^y} \cdot {3^x}}} = \frac{{12}}{{18}}.\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}{6^{x + y}} = 216,\\{(\frac{2}{3})^{x - y}} = \frac{2}{3};\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3,\\x - y = 1;\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}2x = 4,\\2y = 2;\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}x = 2,\\y = 1.\end{array} \right.$

Відповідь: (2;1).

     Завдання. Розв’яжіть графічно нерівність ${2^x} \le 3 - x$.

Розв’язання

     Побудуємо графіки функцій $y = {2^x}$ і $y = 3 - x$.

     Із рисунка видно, що  при х≤1. Отже, розв’язком нерівності  є проміжок (-∞;1].

Відповідь: (-∞;1].

     Завдання. Розв’яжіть нерівність ${6^{{x^2} + 2x}} > {6^3}$.

Розв’язання

     Показникова функція $y = {6^t}$ зростає, тому дана нерівність рівносильна нерівності ${x^2} + 2x > 3$. Розв’язуємо нерівність ${x^2} + 2x - 3 > 0$ методом інтервалів.

     Маємо $( - \infty ; - 3) \cup (1; + \infty )$.

Відповідь: $( - \infty ; - 3) \cup (1; + \infty )$.

     Завдання. Розв’яжіть нерівність ${25^x} + 25 \cdot {5^x} - 1250 > 0$.

Розв’язання

     Зробимо заміну ${5^x} = t$, тоді дану нерівність запишемо так:

${t^2} + 25t - 1250 > 0$.

     Розв’яжемо одержану нерівність методом інтервалів, тоді t<-50 або t>25.

     Отже, маємо дві нерівності: ${5^x} < - 50$ або ${5^x} > 25$.

     Розв’яжемо їх:

1) ${5^x} < - 50$ – розв’язків немає;

2) ${5^x} > 25;\;{5^x} > {5^2};\;x > 2$.

Відповідь: (2;+∞).