Приклади розв'язування завдань

     Завдання. Розв’яжіть рівняння ${\log _3}(2x + 1) = 2$.

Розв’язання

     За означенням логарифма маємо

$2x + 1 = {3^2},\;2x = 8,\;x = 4$.

     Перевірка: ${\log _3}(2 \cdot 4 + 1) = {\log _3}9 = 2$.

Відповідь: 4.

     Завдання. Розв’яжіть рівняння ${\log _3}x = {\log _3}(6 - {x^2})$.

Розв’язання

     Із рівності логарифмів чисел випливає

$x = 6 - {x^2};\;{x^2} + x - 6 = 0;\;{x_1} =  - 3;\;{x_2} = 2$.

     Перевірка:

1)               число -3 не є коренем даного рівняння, бо вираз ${\log _3}( - 3)$ – не визначений;

2)               ${\log _3}x = {\log _3}2;\;{\log _3}(6 - {x^2}) = {\log _3}(6 - {2^2}) = {\log _3}2$.

Відповідь: 2.

     Завдання. Розв’яжіть рівняння ${\log _{x + 1}}(2{x^2} + 1) = 2$.

Розв’язання

     За означенням логарифма маємо

$2{x^2} + 1 = {(x + 1)^2};\;2{x^2} + 1 = {x^2} + 2x + 1;\;{x^2} - 2x = 0;\;{x_1} = 0;\;{x_2} = 2$.

     Перевірка:

1)               Значення х=0 не є коренем даного рівняння, оскільки основа логарифма х+1 не повинна дорівнювати 1;

2)               ${\log _{2 + 1}}(2 \cdot {2^2} + 1) = {\log _3}9 = 2$.

Відповідь: 2.

     Завдання. Розв’яжіть рівняння $\log _2^2x - 3{\log _2}x = 4$.

Розв’язання

     Позначимо ${\log _2}x = y$. Дане рівняння набуває вигляду:

${y^2} - 3y = 4;\;{y^2} - 3y - 4 = 0;\;{y_1} = 4;\;{y_2} = - 1$.

     Звідси ${\log _2}x = 4;\;{\log _2}x = - 1;\;x = {2^4};\;x = {2^{ - 1}};\;x = 16;\;x = \frac{1}{2}$.

     Перевірка:

1)               $\log _2^216 - 3{\log _2}16 = 16 - 12 = 4$;

2)               $\log _2^2\frac{1}{2} - 3{\log _2}\frac{1}{2} = 1 + 3 = 4$.

Відповідь: $16,\;\frac{1}{2}$.

     Завдання. Розв’яжіть рівняння ${\log _5}(x - 1) + {\log _5}(x - 2) = {\log _5}(x + 2)$.

Розв’язання

     Пропонеціюємо дану рівність і одержимо:

${\log _5}((x - 1)(x - 2)) = {\log _5}(x + 2);\;(x - 1)(x - 2) = x + 2;$;

${x^2} - 2x - x + 2 = x + 2;\;{x^2} - 4x = 0;\;x(x - 4) = 0;\;x = 0\;$ або $\;x = 4$.

     Перевірка:

1)               Значення х=0 не є коренем рівняння, тому що вирази ${\log _5}(x - 1)$ і ${\log _5}(x - 2)$ не мають змісту при х=0;

2)               ${\log _5}(x - 1) + {\log _5}(x - 2) = {\log _5}(4 - 1) + {\log _5}(4 - 2) = {\log _5}3 + {\log _5}2 =$

$= {\log _5}(2 \cdot 3) = {\log _5}6$.

     Отже, х=4 – корінь.

Відповідь: 4.

     Завдання. Розв’яжіть рівняння ${\log _3}x - 2{\log _{\frac{1}{3}}}x = 3$.

Розв’язання

${\log _3}x - 2{\log _{\frac{1}{3}}}x = 3;\;{\log _3}x - 2 \cdot \frac{{{{\log }_3}x}}{{{{\log }_3}\frac{1}{3}}} = 3;\;{\log _3}x - 2 \cdot \frac{{{{\log }_3}x}}{{ - 1}} = 3;$

${\log _3}x + 2{\log _3}x = 3;\;3{\log _3}x = 3;\;{\log _3}x = 1;\;x = 3$.

     Перевірка: ${\log _3}3 - 2{\log _{\frac{1}{3}}}3 = 1 + 2 = 3$.

     Отже, х=3 – корінь.

Відповідь: 3.

     Завдання. Розв’яжіть рівняння ${x^{\lg x}} = 100x$.

Розв’язання

     Прологарифмуємо обидві частини рівності (х>0) і одержимо

$\lg {x^{\lg x}} = \lg (100x);\;\lg x\lg x = \lg 100 + \lg x;\;{\lg ^2}x - \lg x - 2 = 0$.

     Замінимо $\lg x = y$. Рівняння набуває вигляду:

${y^2} - y - 2 = 0;\;{y_1} = 2;\;{y_2} = - 1$.

     Тоді:

1) $\lg x = 2;\;x = {10^2};\;x = 100$;

2) $\lg x = - 1;\;x = {10^{ - 1}};\;x = 0,1$.

     Перевірка:

1)               ${x^{\lg x}} = {100^{\lg 100}} = {100^2};100x = 100 \cdot 100 = {100^2}$. Отже, х=100 – корінь;

2)               ${x^{\lg x}} = {0,1^{\lg 0,1}} = {0,1^{ - 1}} = \frac{1}{{0,1}};100x = 100 \cdot 0,1 = 10$. Отже, х=0,1 – корінь.

Відповідь: 100; 0,1.

     Завдання. Розв’яжіть рівняння $\lg x = 1 - x$ графічно.

Розв’язання

     В одній і тій самій системі координат побудуємо графіки функції $y = \lg x$ і $y = 1 - x$.

     Абсциса точки перетину побудованих графіків дорівнює 1. Отже, х=1 – корінь даного рівняння.

Відповідь: 1.

     Зауваження. Корінь цього рівняння легко знайти усно, однак треба пам’ятати, що в цьому випадку необхідно доводити той факт, що знайдений корінь єдиний.

     Завдання. Розв’яжіть систему рівнянь 

$\left\{ \begin{array}{l}{\log _4}(x + y) = 2,\\{\log _3}x + {\log _3}y = 2 + {\log _3}7.\end{array} \right.\;$

Розв’язання

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\log _4}(x + y) = 2,\\{\log _3}x + {\log _3}y = 2 + {\log _3}7;\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}{\log _4}(x + y) = 2,\\{\log _3}(x \cdot y) = {\log _3}9 + {\log _3}7;\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}x + y = 16,\\{\log _3}(xy) = {\log _3}63;\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + y = 16,\\xy = 63;\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}x = 16 - y,\\(16 - y) \cdot y = 63;\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}x = 16 - y,\\16y - {y^2} - 63 = 0;\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}x = 16 - y,\\{y^2} - 16y + 63 = 0;\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 16 - y,\\{y_1} = 7,{y_2} = 9.\end{array} \right.\end{array}$

     Тоді маємо:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 9,\\{y_1} = 7\end{array} \right.\;abo\;\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 7,\\{y_2} = 9.\end{array} \right.$

     Перевіркою впевнюємося, що (9;7), (7;9) – розв’язки системи.

Відповідь: (9;7), (7;9).

     Завдання. Розв’яжіть нерівність ${\log _2}x < 3$.

Розв’язання

     Оскільки $3 = {\log _2}{2^3} = {\log _2}8$, то запишемо дану нерівність у вигляді ${\log _2}x < {\log _2}8$. Оскільки функція $y = {\log _2}x$ зростаюча при х>0, то маємо 

$\left\{ \begin{array}{l}x < 8,\\x > 0.\end{array} \right.$

     Отже, 0<х<8.

Відповідь: $x \in (0;8)$.

     Завдання. Розв’яжіть нерівність ${\log _{\frac{1}{3}}}x \le - 2$.

Розв’язання

     Запишемо дану нерівність у вигляді ${\log _{\frac{1}{3}}}x \le {\log _{\frac{1}{3}}}9$. Оскільки функція $y = {\log _{\frac{1}{3}}}x$ спадна при х>0, маємо 

$\left\{ \begin{array}{l}x \ge 9,\\x > 0.\end{array} \right.$

     Отже, х≥9.

Відповідь: $x \in [9; + \infty )$.

     Завдання. Розв’яжіть нерівність ${\log _{0,5}}({x^2} + x) \ge - 1$.

Розв’язання

     Оскільки $- 1 = {\log _{0,5}}{0,5^{ - 1}} = {\log _{0,5}}2$, то ${\log _{0,5}}({x^2} + x) \ge {\log _{0,5}}2$.

     Одержана нерівність рівносильна системі

$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x > 0,\\{x^2} + x \le 2;\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x > 0,\\{x^2} + x - 2 \le 0;\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}x(x + 1) > 0,\\(x + 2)(x - 1) \le 0.\end{array} \right.$

     Розв’язком першої нерівності є $( - \infty ; - 1) \cup (0; + \infty )$.

     Розв’язком другої нерівності є [-2;1].

     Тоді маємо $[ - 2; - 1) \cup (0;1]$.

Відповідь: $[ - 2; - 1) \cup (0;1]$.

     Завдання. Розв’яжіть нерівність $\log _5^2x - {\log _5}x > 2$.

Розв’язання

     Нехай ${\log _5}x = y$, тоді отримаємо нерівність ${y^2} - y - 2 > 0$. Розв’яжемо отриману нерівність методом інтервалів:

$y \in ( - \infty ; - 1) \cup (2; + \infty )$

     Ураховуючи заміну, маємо:

1) ${\log _5}x < - 1;\;{\log _5}x < {\log _5}\frac{1}{5};\;\left\{ \begin{array}{l}x < \frac{1}{5},\\x > 0;\end{array} \right.\;x \in (0;\frac{1}{5});$

2) ${\log _5}x > 2;\;{\log _5}x < {\log _5}25;\;\left\{ \begin{array}{l}x > 25,\\x > 0;\end{array} \right.\;x \in (25; + \infty ).$

     Отже, $(0;\frac{1}{5}) \cup (25; + \infty )$ - розв’язок даної нерівності.

Відповідь: $(0;\frac{1}{5}) \cup (25; + \infty )$.

     Завдання. Розв’яжіть нерівність $\frac{2}{{1 + \lg x}} \ge 1$.

Розв’язання

     Нехай lg x=y, тоді матимемо нерівність

$\frac{2}{{1 + y}} \ge 1,y \ne 1;\;\frac{2}{{1 + y}} - 1 \ge 0;\;\frac{{2 - 1 - y}}{{1 + y}} \ge 0;\;\frac{{1 - y}}{{1 + y}} \ge 0$.

     Розв’яжемо отриману нерівність методом інтервалів

$y \in ( - 1;1]$.

     Ураховуючи заміну, одержимо -1<lg x≤1.

     Тоді

$\left\{ \begin{array}{l}\lg x \le 1,\\\lg x > - 1;\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}\lg x \le \lg 10,\\\lg x > \lg 0,1;\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}x \le 10,\\x > 0,1,\\x > 0.\end{array} \right.$

     Отже, $x \in (0,1;10]$.

Відповідь: (0,1;10].

     Завдання. Розв’яжіть нерівність $(3x - 6){\log _{0,6}}x > 0$.

Розв’язання

     Нехай $y = (3x - 6){\log _{0,6}}x > 0$, у>0. Область визначення функції у: х>0. Знайдемо нулі функції:

$(3x - 6){\log _{0,6}}x = 0;\;3x - 6 = 0;\;{\log _{0,6}}x = 0;\;x = 2;\;x = 1$.

     Розіб’ємо область визначення функції не проміжки точками 2 і 1 і знайдемо знаки функції на утворених проміжках.

     Отже, $x \in (1;2)$.

Відповідь: (1;2).

     Завдання. Розв’яжіть нерівність ${\log _{x - 3}}(x - 1) < 2$.

Розв’язання

     Нехай $y = {\log _{x - 3}}(x - 1) - 2$ і у<0. Область визначення функції знаходимо із системи:

$\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0,\\x - 3 > 0,\\x - 3 \ne 1;\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}x > 1,\\x > 3,\\x \ne 4.\end{array} \right.$

     Отже, $x \in (3;4) \cup (4; + \infty )$.

     Знайдемо нулі функції:

$\begin{array}{l}{\log _{x - 3}}(x - 1) = 2;\;x - 1 = {(x - 3)^2};\;x - 1 = {x^2} - 6x + 9;\;{x^2} - 7x + 10;\;\\x = 5,x = 2.\end{array}$

     Значення х=2 не входить в область визначення функції. Зробивши перевірку, переконуємося, що х=5 – нуль функції.

     Розіб’ємо область визначення функції на проміжки точкою 5 та знайдемо знаки функції на утворених проміжках.

     Отже, $x \in (3;4) \cup (5; + \infty )$.

Відповідь: $(3;4) \cup (5; + \infty )$.

     Завдання. Розв’яжіть нерівність ${\log _3}x \le 4 - x$.

Розв’язання

     Побудуємо графіки функцій $y = {\log _3}x$ і $y = 4 - x$ в одній системі координат. Графіки перетинаються в точці з абсцисою х=3.

     Із рисунка видно, що множина розв’язків нерівності є проміжок (0;3].

Відповідь: (0;3].