Друкувати цей розділДрукувати цей розділ

Похідна функції, її геометричний та механічний зміст

Означення похідної

     Нехай задано функцію y=f(x) на деякому проміжку. Візьмемо довільну внутрішню точку x0 цього проміжку, надамо значенню х0 довільного приросту Δx (число Δх може бути як додатним, так і від’ємним), але такого, щоб точка х0х належала даному проміжку.

     Тоді

1)               обчислимо в точці х0 приріст Δуf(х0) функції:

\Delta y = \Delta f({x_0}) = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0});

2)               складемо відношення \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{\Delta f({x_0})}}{{\Delta x}} = \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}};

3)               знайдемо границю цього відношення за умови, що Δх→0, тобто:

\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta f({x_0})}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}.

     Якщо дана границя існує, то її називають похідною функції y=f(x) у точці х0 і позначають f'({x_0}) або y'.

     Похідною функції y=f(x) у точці х0 називають границю відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує, тобто

f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}.

      Із другого прикладу можна зробити висновок, що похідна лінійної функції – стала величина, яка дорівнює кутовому коефіцієнту прямої. Якщо у формулі (kx + b)' = k покласти k=0, b=C, де С – довільна стала, то одержимо, що C' = 0, тобто похідна сталої дорівнює нулю.

     Якщо у формулі (kx + b)' = k покласти k=1, b=0, то одержимо x' = 1.

     Функцію, яка має похідну в точці х0, називають диференційованою в цій точці. Функцію, яка має похідну в кожній точці деякого проміжку, називають диференційованою на цьому проміжку. Операція знаходження похідної називається диференціюванням.

     Нехай D1 – множина точок, у яких функція y=f(x) диференційована. Якщо кожному x \in {D_1} поставити у відповідність число f'(x), то одержимо нову функцію з областю визначення D1. Цю функцію позначають f':

f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}}.