Похідна та її застосування

     Відомо, що функцію y=f(x) називають зростаючою на деякому проміжку, якщо для будь-яких х₁ і х₂, що належать проміжку, з умови х₂>х₁ випливає, що f(x₂)>f(x₁).

     Дотична в кожній точці графіка зростаючої функції, утворює з додатним напрямом осі ОХ або гострий кут, або кут, що дорівнює нулю (в останньому випадку дотична є паралельною осі ОХ).

     Виходячи з геометричного змісту похідної, $tg\;\alpha = f'({x_0})$. Це означає, що похідна в кожній точці проміжку невід’ємна, тому для зростаючої функції f(x) виконується умова

$f'({x_0}) \ge 0$.

     Функцію y=f(x) називають спадною на проміжку, якщо для будь-яких х₁ і х₂, що належать проміжку, з умови х₂>х₁ випливає, що f(x₂)<f(x₁). Дотична в кожній точці графіка спадної функції, утворює з віссю ОХ або тупий кут, або кут, що дорівнює нулю, тому для функції f(x), яка спадає на деякому проміжку, виконується умова

$f'({x_0}) \le 0$.

     Одна й та сама функція може на одному проміжку області її визначення зростати, а на іншому – спадати. Характер поведінки функції на кожному із цих проміжків визначається знаком її похідної.

     Отже, наочне уявлення дозволяє сформулювати властивості зростаючих та спадних функцій.

     Якщо функція y=f(x) диференційована і зростає на деякому проміжку, то її похідна на цьому проміжку невід’ємна.

     Якщо функція y=f(x) диференційована і спадає на деякому проміжку, то її похідна на цьому проміжку недодатна.

     Проте для розв’язування задач особливо важливими є обернені твердження, які виражають ознаки зростання і спадання функції на проміжку. Нехай значення похідної функції y=f(x) додатні на деякому проміжку, тобто $f'(x) > 0$. Оскільки $tg\;\alpha = f'(x)$, то з умови tg α>0 випливає, що дотичні, проведені до графіка функції в будь-якій точці цього інтервалу, утворюють гострі кути з додатним напрямом осі ОХ. У цьому випадку графік функції «піднімається» на заданому проміжку, тобто функція зростає.

     Якщо $f'(x) < 0$ на деякому проміжку, то кутовий коефіцієнт дотичної $tg\;\alpha = f'(x)$ до графіка функції y=f(x) від’ємний. Це означає, що дотична до графіка функції утворює з віссю ОХ тупий кут і графік функції на даному проміжку «опускається», тобто функція f(x) спадає.

     Якщо $f'(x) > 0$ на проміжку, то функція f(x) зростає на цьому проміжку.

     Якщо $f'(x) < 0$ на проміжку, то функція f(x) спадає на цьому проміжку.

     Ці два твердження називають ознаками зростання (спадання) функції на проміжку.

     Проміжки зростання і спадання функції часто називають проміжками монотонності цієї функції.

     Розглянемо функцію y=f(x), яка визначена в деякому околі точки х₀ і має похідну в цій точці.

     Якщо х₀ – точка екстремуму диференційованої функції y=f(x), то $f'({x_0}) = 0$ .

     Це твердження називають теоремою Ферма на честь французького математика П’єра Ферма (1601 – 1665).

     Теорема Ферма має наочний геометричний зміст: у точці екстремуму дотична паралельна осі абсцис, і тому її кутовий коефіцієнт $f'(x)$ дорівнює нулю.

     Наприклад: функція $f(x) = {x^2} - 2$ має в точці х₀=0 мінімум, її похідна $f'(0) = 0$.

     Функція $f(x) = 1 - {x^2}$ має максимум в точці х₀=0, $f'(x) = - 2x,\;f'(0) = 0$.

     Слід зазначити, що якщо $f'({x_0}) = 0$, то х₀ необов’язково є точкою екстремуму.

     Наприклад: якщо $f(x) = {x^3}$, то $f'(x) = 3{x^2}$ і $f'(0) = 0$. Проте точка х=0 не є точкою екстремуму, оскільки функція $f(x) = {x^3}$ зростає на всій числовій осі.

     Отже, точки екстремуму диференційованої функції треба шукати тільки серед коренів рівняння $f'(x) = 0$, але не завжди корінь рівняння $f'(x) = 0$ є точкою екстремуму.

    Внутрішні точки області визначення функції y=f(x), у яких похідна дорівнює нулю, називають стаціонарними. Отже, для того щоб точка х₀ була точкою екстремуму, необхідно, щоб вона була стаціонарною.

     Сформулюємо достатні умови для того, щоб стаціонарна точка була точкою екстремуму, тобто умови, при виконанні яких стаціонарна точка є точкою максимуму або мінімуму функції.

     Якщо похідна ліворуч стаціонарної точки додатна, а праворуч – від’ємна, тобто при переході через цю точку похідна змінює знак із «+» на «-», то ця стаціонарна точка є точкою максимуму.

     Дійсно, у цьому разі ліворуч стаціонарної точки функція зростає, а праворуч – спадає, отже, дана точка є точкою максимуму.

     Якщо похідна ліворуч стаціонарної точки від’ємна, а праворуч – додатна, тобто при переході через стаціонарну точку похідна змінює знак із «-» на «+», то ця стаціонарна точка є точкою мінімуму.

     Якщо при переході через стаціонарну точку похідна не змінює знака, тобто ліворуч і праворуч від стаціонарної точки похідна додатна або від’ємна, то ця точка не є точкою екстремуму.