Первісна, невизначений і визначений інтеграли

     Функцію F(x) називають первісною для функції f(x) на заданому проміжку, якщо для всіх х із цього проміжку $F'(x) = f(x)$.

     Функція $F(x) = {x^2}$ є первісною для функції $f(x) = 2x$, оскільки $F'(x) = ({x^2})' = 2x = f(x)$.

     Основна властивість первісної

     Якщо F(x) – первісна для функції f(x) на заданому проміжку, то функція f(x) має безліч первісних, і всі ці первісні можна записати у вигляді F(x)+C, де С – довільна стала.

     Функції $F(x) = {x^2} + C$ є первісними для функції $f(x) = 2x$, оскільки $F'(x) = ({x^2} + C)' = 2x = f(x)$.

1. Первісна суми функцій дорівнює сумі первісних функцій: тобто якщо F(x) – первісна для f(x), а G(x) – первісна для g(x), то F(x)+G(x) – первісна для функції f(x)+g(x).
2. Сталий множник можна виносити за знак первісної, тобто якщо F(x) – первісна для функції f(x) і С – стала, то CF(x) – первісна для Cf(x).
3. Якщо F(x) – первісна для f(x) і k≠0, b – стала, то $\frac{1}{k}F(kx + b)$ – первісна для функції f(kx+b).

     Невизначеним інтегралом від функції f(x) називають вираз F(x)+C, тобто сукупність усіх первісних даної функції f(x).

     Позначається так: $\int {f(x)dx} = F(x) + C$, де функцію f(x) називають підінтегральною функцією; вираз dx – підінтегральним виразом; F(x) – одна з первісних функції f(x); С – довільна стала.

Основні правила інтегрування

1. $\int {(f(x) + g(x))dx} = \int {f(x)dx} + \int {g(x)dx}$.
2. $\int {Cf(x)dx} = C\int {f(x)dx}$.
3. Якщо k≠0 k і b – сталі, то $\int {f(kx + b)dx} = \frac{1}{k}F(kx + b) + C$.

     Нехай задано неперервну функцію f(x), визначену на проміжку [a; b], тоді визначеним інтегралом від а до b функції f(x) називають приріст первісної F(x) цієї функції, тобто $\int\limits_a^b {f(x)dx} = F(b) - F(a)$. Числа а і b називають відповідно нижньою і верхньою межами інтегрування.

Основні правила обчислення визначеного інтеграла

1. $\int\limits_a^b {Cf(x)dx} = C\int\limits_a^b {f(x)dx}$, де С - стала.
2. $\int\limits_a^b {(f(x) + g(x))dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_a^b {g(x)dx}$.
3. $\int\limits_a^b {f(x)dx} = - \int\limits_b^a {f(x)dx}$.
4. $\int\limits_a^b {f(kx + l)dx} = \frac{1}{k}\int\limits_{ka + l}^{kb + l} {f(t)dt}$.
5. $\int\limits_a^a {f(x)dx} = 0$.
6. $\int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx}$.