Приклади розв'язування завдань

     Завдання. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями.

Розв’язання

     Зобразимо схематично графіки даних функцій і заштрихуємо фігуру, площу якої необхідно знайти.

     Для знаходження меж інтегрування розв’яжемо рівняння:

${x^2} = - x + 2;\;{x^2} + x - 2 = 0;\;x = - 2$ або $x = 1$.

     Тоді $S = \int\limits_{ - 2}^1 {(( - x + 2) - {x^2})dx} = \int\limits_{ - 2}^1 {( - {x^2} - x + 2)dx} = ( - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x)|_{ - 2}^1 =$

$= - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 - (\frac{8}{3} - 2 - 4) = - \frac{9}{3} + 1,5 + 6 = 7,5 - 3 = 4,5$.

Відповідь: 4,5.

     Завдання. Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої синусоїдою y=sin x та прямими $x = 0$ і $x = \frac{\pi }{2}$.

Розв’язання

$V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}xdx} = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 - \cos (2x)}}{2}dx = \frac{\pi }{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {(1 - \cos (2x))dx} } =$

$= \frac{\pi }{2}(x - \frac{1}{2}\sin (2x))|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{\pi }{2}(\frac{\pi }{2} - \frac{1}{2}\sin \pi ) - \frac{\pi }{2}(0 - \frac{1}{2}\sin 0) = \frac{{{\pi ^2}}}{4}$.

Відповідь: $\frac{{{\pi ^2}}}{4}$.