Сполуки. Біном Ньютона

Перестановки (без повторень). Розміщення (без повторень)

   Перестановки (без повторень)

 Будь-яка впорядкована множина, яка складається з n елементів, називається перестановкою з n елементів.

     Число перестановок з n елементів (позначається P_n) дорівнює добутку всіх натуральних чисел від 1 до n, тобто n!

     За означенням 0!=1.

Таблиця факторіалів чисел від 1 до 10

Комбінації (без повторень). Трикутник Паскаля

    1. Комбінації (без повторень)

Будь-яка підмножина з m елементів даної множини, яка містить n елементів, називається комбінацією з n елементів по m елементів.

     Число комбінацій з n елементів по m позначають символом .

     Число комбінацій з n елементів по m (1≤m≤n) дорівнює дробу, чисельником якого є добуток m послідовних натуральних чисел, найбільшим з яких є n, а знаменником – добуток m перших послідовних натуральних чисел:

 або  .

Властивості числа комбінацій без повторень

2. Трикутник Паскаля

 Усі можливі значення   (n=0,1,2,…, m=0,1,2,…,) можна записати у вигляді трикутної таблиці. Така таблиця називається трикутником Паскаля.

Біном Ньютона

     Рівність

називають біномом Ньютона, або формулою Ньютона. Права частина рівності називається біноміальним розкладом (у суму), або розкладом бінома, а коефіцієнти  – біноміальними.

     Властивості розкладу бінома

1. Число всіх членів розкладу на одиницю більше, ніж показник степеня бінома, тобто дорівнює n+1.

2. Сума показників степенів х і а кожного члена розкладу дорівнює показнику степеня бінома, тобто (n-m)+m=n.

3. Загальний член розкладу (позначається T_m+1) має вигляд

 .

4. Біноміальні коефіцієнти членів розкладу, рівновіддалених від кінців розкладу, рівні між собою

 .

5. Сума біноміальних коефіцієнтів усіх членів розкладу дорівнює 2ⁿ:

 .

6. Сума біноміальних коефіцієнтів членів розкладу, що стоять на непарних місцях, дорівнює сумі біноміальних коефіцієнтів, які стоять на парних місцях і дорівнює 2^n-1:

.