Приклади розв'язування завдань

Приклад 1

     Задача. У скрині лежать 20 кульок, із яких 12 білих, решта чорні. Виймають навмання 2 кульки. Яка ймовірність того, що вони будуть білі?

Розв’язання

     Загальна кількість елементарних подій випробування (вийнято 2 кульки) дорівнює числу способів, якими можна вийняти 2 кульки із 20, тобто числу комбінацій із 20 елементів по 2 (). Обчислимо кількість елементарних подій, які сприяють події «вийнято 2 білих кульки». Ця кількість дорівнює числу способів, якими можна вийняти 2 кульки із 12 білих, тобто числу комбінацій із 12 елементів по 2 ().

     Отже, якщо подія А – «вийнято 2 білі кульки», то

.

Відповідь:  .

Приклад 2

     Задача. У скрині лежать 20 кульок, із яких 12 білих, решта – чорні. Виймають навмання 3 кульки. Яка ймовірність того, що серед вибраних 2 кульки будуть білі?

Розв’язання

     Загальна кількість елементарних подій випробування «вийнято 3 кульки» дорівнює .

     Обчислимо кількість елементарних подій, які сприяють події «серед 3 вибраних кульок 2 білі». Дві білі кульки із 12 білих кульок можна вибрати способами , а 1 чорну кульку – 8 способами, тоді події «серед 3 вибраних кульок 2 білі» сприяють   елементарних подій.

     Отже, якщо подія А – «серед 3 вибраних кульок 2 білі», то

.

Відповідь: .

Приклад 3

     Задача. У скрині лежать 15 червоних, 9 синіх і 6 зелених кульок, однакових на дотик. Виймають навмання 6 кульок. Яка ймовірність того, що вийнято: 1 зелену, 2 синіх і 3 червоних кульки?

Розв’язання

     У цій задачі випробування полягає в тому, що зі скрині виймають 6 кульок. Вийняти 6 кульок із 15+9+6=30 кульок можна   способами. Нас цікавить імовірність події А – «вийнято 1 зелену, 2 синіх і 3 червоних кульки». Одну зелену кульку можна вийняти   способами, 2 синіх кульки –  способами, 3 червоних кульки –  способами. Отже, події А сприяють  елементарних подій. Тоді

.

Відповідь: .

Приклад 4

     Задача. У скрині лежать 2 чорних, 3 червоних, 9 зелених, 6 синіх кульок. Виймають навмання 1 кульку. Яка ймовірність того, що вона не чорна?

Розв’язання

     Нехай подія А – «поява нечорної кульки»; А₁ – «поява чорної кульки»; А₂ – «поява червоної кульки»; А₃ – «поява зеленої кульки»; А₄ – «поява синьої кульки». Тоді А=А₂+А₃+А₄, причому А₂, А₃, А₄ – несумісні,

 .

     За теоремою ймовірностей суми несумісних подій отримуємо

.

Відповідь: .

Приклад 5

     Задача. У коробці є 20 деталей, із яких 15 стандартні. Знайдіть імовірність того, що серед 3 вибраних навмання деталей є хоча б одна стандартна.

Розв’язання

     Подія А – «серед вибраних деталей є хоча б одна стандартна», подія  – «усі вибрані деталі не стандартні».

     Згідно з наслідком 2 маємо . Звідси .

     Знайдемо  . Загальне число способів, якими можна вибрати 3 деталі із 20 деталей, дорівнює  . Число нестандартних деталей 20–15=5, із цього числа деталей можна   способами вибрати 3 нестандартні деталі.

     Отже,  .

     Шукана ймовірність .

Відповідь:   .

Приклад 6

     Задача. Знайдіть імовірність одночасного випадання герба на двох монетах при одному киданні двох монет.

Розв’язання

     Подія А – «випав герб на першій монеті»,  .

     Подія В – «випав герб на другій монеті»,  .

     Оскільки поді А і В незалежні, то

 .

Відповідь: .

Приклад 7

     Задача. Два мисливці стріляють одночасно і незалежно один від одного по мішені. Імовірність влучень у мішень відповідно дорівнюють 0,7 і 0,8. Знайдіть імовірність того, що обидва мисливці влучать у ціль.

Розв’язання

     Подія А – «перший мисливець влучив у ціль», Р(А)=0,7.

     Подія В – «другий мисливець влучив у ціль», Р(В)=0,8.

     Подія С=А∙В – «обидва мисливці влучили у ціль», тоді

 .

Відповідь: 0,56.

Приклад 8

     Задача. Два мисливці стріляють одночасно і незалежно один від одного по мішені. Імовірність влучень у мішень відповідно дорівнюють 0,7 і 0,8. Знайдіть імовірність того, що

а) лише один із мисливців влучив у ціль;

б) жодний із мисливців не влучив у ціль;

в) хоча б один із мисливців влучить у ціль.

Розв’язання

     Подія А – «перший мисливець влучив у ціль», Р(А)=0,7.

     Подія В – «другий мисливець влучив у ціль», Р(В)=0,8.

а)   – «лише один із мисливців влучив у ціль», тоді

б)  – «жоден із мисливців не влучив у ціль», тоді

в) І спосіб

 – «хоча б один із мисливців влучить у ціль», тоді

;

ІІ спосіб

, тоді

Відповідь: а) 0,38; б) 0,06; в) 0,94.

Приклад 9. Приклад 10

  Приклад 9. 

 Задача. Імовірність того, що витрата електроенергії протягом доби не перевищує встановленої норми, дорівнює 0,75. Знайдіть імовірність того, що в найближчі 6 діб витрати електроенергії впродовж 4 діб не перевищують норми.

Розв’язання

     Імовірність нормальної витрати електроенергії протягом кожних 6 діб постійна і дорівнює р=0,75. Отже, імовірності перевитрати електроенергії в кожну добу також постійні і дорівнюють

.

     Шукана ймовірність за формулою Бернуллі дорівнює

 .

Відповідь: 0,3.

Приклад 10.

Задача. Яка ймовірність того, що при 10 киданнях грального кубика 3 очки випадатимуть рівно 2 рази?

Розв’язання

     У цій задачі  і тоді

 .

Відповідь: 0,29.