Вступ до статистики

Поняття про статистику

     Статистика – наука, що збирає, обробляє і вивчає різні дані, пов’язані з масовими явищами, процесами, подіями.

     Математична статистика – розділ математики, присвячений математичним методам систематизації, обробки та дослідження статистичних даних для наукових і практичних висновків.

     Статистичне спостереження – це спланований, науково-організований збір масових даних про соціально-економічні явища та процеси.

     Найпоширенішим серед видів статистичних спостережень є вибіркове. У процесі вибіркового спостереження вивчається лише частина сукупності, відібрана спеціальним методом, яка називається вибіркою. Усю сукупність, із якої роблять вибірку, називають генеральною сукупністю. Число об’єктів генеральної сукупності й вибірки відповідно називають обсягом генеральної сукупності й обсягом вибірки.

     Нехай із генеральної сукупності зроблено вибірку, причому х₁ спостерігалося n₁ разів, х₂ – n₂ разів, х₃ – n₃разів, x_m – n_m разів і n₁+n₂+n₃+…+n_m=N – обсяг вибірки. Значення х₁, х₂, х₃,…x_m називаються варіантами, послідовність варіант, записаних у зростаючому (спадному) порядку, – варіаційним рядом. Числа спостережень n₁,n₂,n₃,…n_m називають частотами, а їх відношення до обсягу вибірки  – відносними частотами. Відзначимо, що сума відносних частот дорівнює 1:

     Статистичним рядом розподілу вибірки називається перелік варіант і відповідних їм частот або відносних частот.

     Статистичний розподіл можна задати у вигляді послідовності інтервалів і відповідних їм частот.

     Статистичним рядом розподілу вибірки називається перелік варіант і відповідних їм частот або відносних частот.

     Статистичний розподіл можна задати у вигляді послідовності інтервалів і відповідних їм частот.

     Наприклад. Перейти від частот до відносних частот у такому розподілі вибірки обсягом N=20.

Розв’язання

     Знайдемо відносні частоти:

.

     Тому одержуємо такий розподіл:

     Для графічного зображення статистичного розподілу використовують полігони і гістограми.

     Для побудови полігону на осі ОХ відкладають значення варіант х_і, на осі ординат – значення частот n_i. Точки (х_і;n_i) з’єднують відрізками прямих і одержують полігон частот.

     Наприклад 2. Побудувати полігон частот та полігон відносних частот статистичного розподілу з прикладу 1.

     На мал. 1 побудовано полігон частот, а на мал. 2 – полігон відносних частот. У випадку інтервального розподілу доцільно побудувати гістограму, для чого інтервал, у якому містяться всі значення ознаки, яка спостерігається, розбивають на кілька інтервалів довжиною h і знаходять для кожного інтервалу n_i – суму частот варіант, які попали в і-й інтервал.

Мал. 1	Мал. 2

     Гістограмою частот називають східчасту фігуру, яка складається з прямокутників, основами яких є інтервали довжиною h, а висота дорівнює відношенню . Площа і-го прямокутника дорівнює.

     Отже, площа гістограми дорівнює сумі всіх частот, тобто обсягу вибірки.

На мал. 3 подано гістограму за даними табл. 1.

Таблиця 1

 

Центральні тенденції вибірки

     Вибірка характеризується центральними тенденціями: середнім значенням, модою і медіаною.

     Середнім значенням вибірки називається середнє арифметичне всіх її значень:

 або .

     Мода вибірки – те її значення, яке трапляється найчастіше (позначається М₀).

     Медіана вибірки – це число, яке ділить навпіл упорядковану сукупність усіх значень вибірки, тобто середня величина змінюваної ознаки, яка містить в середині ряду, розміщеного в порядку зростання або спадання ознаки (позначається М_е). Якщо кількість чисел у ряду парна, то медіана – середнє арифметичне двох чисел, що стоять посередині.

Середні значення

     Статистика оперує такими середніми значеннями: середнє арифметичне, середнє квадратичне, середнє геометричне.

     Відхиленням значення х_і від середнього значення   називається різниця .

     У статистиці користуються показником – середнє квадратичне відхилення, яке знаходять так: усі відхилення підносять до квадрата; знаходять середнє арифметичне цих квадратів; зі знайденого середнього арифметичного добувають квадратний корінь. Середнє квадратичне відхилення позначають грецькою буквою σ:

.

     У статистиці  називають дисперсією.

     Середнє геометричне n додатних чисел  визначається за формулою

\.

     Якщо вибірку задано статистичним рядом, то

  або 

 або