Загальні методи розв'язування рівнянь, нерівностей та їх систем

Рівносильні рівняння. Системи і сукупності рівнянь з однією змінною

     1. Рівносильні рівняння

Два рівняння називаються рівносильними, якщо вони мають одні й ті самі корені або не мають їх зовсім. Знак рівносильності рівнянь – .

     Наприклад:

     1)  , оскільки вони мають корінь х=2;

     2)  .

2. Системи і сукупності рівнянь з однією змінною

 Система рівнянь – це рівняння, відносно яких ставиться задача знайти їхні спільні корені. Знак системи – {.

     Наприклад:

     Сукупність рівнянь – це рівняння, відносно яких ставиться задача знайти всі їхні корені. Знак сукупності – [.

     Наприклад:

 

 

Методи розв’язування рівнянь

Розкладання на множники

     Добуток кількох множників дорівнює нулю, якщо хоча б один із них дорівнює нулю, а останні при цьому існують.

     Наприклад:

Заміна змінних

     Наприклад: 

Порівняння обох частин рівняння за величиною

     Наприклад: .

     Оскільки , то 

Використання однорідності

     Наприклад: .

     Нехай , тоді

  або .

     Тоді

Використання монотонності

     Наприклад:  .

     Функція   спадна,  . Отже, х=2 – єдиний корінь.

Графічний метод

     Щоб графічно розв’язати рівняння f(x)=g(x), треба побудувати графіки функцій y=f(x) і y=g(x) і знайти абсциси точок їх перетину.

     Наприклад:  .

Відповідь: х=0.

Нерівносильні перетворення

 

Можуть призвести до втрати коренів
Неправильне розв’язування: ; Втрачено корінь х=0.	Правильне розв’язування ;  або
Можуть призвести до появи сторонніх коренів
Неправильне розв’язування ;  або   Корінь х=1 – сторонній	Правильне розв’язування

Методи розв’язання нерівностей

Метод інтервалів

     Щоб розв’язати нерівність , де  , де – різні числа, треба:

1. зобразити  на координатній прямій (ці числа, розташовані у порядку зростання, розділяють пряму на  проміжків, на яких функція f(x) зберігає свій знак);
2. визначити знаки функції f(x) на кожному проміжку;
3. записати відповідь.

     Наприклад:  .

.

Відповідь: .

Узагальнений метод інтервалів

     Щоб розв’язати нерівність , треба:

1. знайти область визначення функції у=f(x);
2. знайти нулі функції (f(x)=0);
3. на координатній прямій позначити нулі функції і визначити знак функції на кожному проміжку, на які розбивають нулі функції область визначення;
4. записати відповідь (вибрати ті інтервали, де функція має потрібний знак).

Графічний метод

     Щоб розв’язати нерівність f(x)>g(x), треба побудувати графіки функцій y=f(x), y=g(x) і вибрати ті проміжки осі абсцис, на яких графік функції y=f(x)розташований вище графіка функції y=g(x).

     Щоб розв’язати нерівність f(x)<g(x), треба побудувати графіки функцій y=f(x), y=g(x) і вибрати ті проміжки осі абсцис, на яких графік функції y=f(x)розташований нижче графіка функції y=g(x).

     Наприклад: .

Відповідь: .

Методи розв’язування систем рівнянь

Правило переходу до совокупності

Правило додавання

Правило підстановки

 Зведення системи рівнянь до об’єднання простіших систем

     Наприклад: Розв’яжіть систему

Розв’язання

Відповідь: (1,5; 1,5), (2,4; 0,6).

Спосіб уведення нових змінних

     Наприклад: Розв’яжіть систему

Розв’язання

Відповідь: (16; 30).

Використання теореми Вієта

     Наприклад: Розв’яжіть систему

Розв’язання

     х і у – корені рівняння .

     Звідси а=2, а=3. Отже, розв’язками системи є пари (2;3), (3;2).

Відповідь: (2;3), (3;2).

Симетричні системи

     Наприклад: Розв’яжіть систему

Розв’язання

     Звідси (3;4), (4;3).

Відповідь: (3;4), (4;3).