РІВНЯННЯ, НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ СИСТЕМИ

6. Системи рівнянь із двома змінними

     Декілька рівнянь із двома змінними, відносно яких поставлено завдання знайти всі спільні розв’язки, називають системою рівнянь із двома змінними. Систему рівнянь позначають зліва фігурною дужкою, що їх об’єднує.

    Наприклад: 

\left\{ \begin{array}{l}x - y = 2,\\x + y = 4,\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y = 0,\\x - y = 2,\end{array} \right. - системи рівнянь із двома змінними.

     Розв’язати систему рівнянь із двома змінними означає знайти всі її розв’язки або довести, що система розв’язків не має.

     Розв’язком системи рівнянь із двома змінними називають пару значень змінних, яка перетворює кожне рівняння системи на правильну рівність.

    Наприклад: пара чисел х=3, у=2 (записують так(3;2)) є розв’язком системи рівнянь

\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 12,\\x - y = 1.\end{array} \right.\;

     Розв’язування системи рівнянь із двома змінними, як правило, зводиться до заміни даної системи рівносильною їй системою.

     Системи рівнянь із двома змінними, які мають одні й ті самі розв’язки, називають рівносильними. Системи рівнянь, які не мають розв’язків, також вважають рівносильними.

      Системи рівнянь мають такі властивості:

     1. Якщо замінити порядок рівнянь заданої системи, то одержимо систему рівносильну даній.

    Наприклад: системи

\left\{ \begin{array}{l}x + y = 10,\\x - y = 0\end{array} \right.\;i\;\left\{ \begin{array}{l}x - y = 0,\\x + y = 0\end{array} \right. є рівносильними.

      2.  Якщо одне з рівнянь системи замінити на рівносильне йому рівняння, то одержимо систему, рівносильну даній.

    Наприклад: системи

\left\{ \begin{array}{l}5x - 5y = 10,\\x + y = 3\end{array} \right.\;i\;\left\{ \begin{array}{l}x - y = 2,\\x + y = 3\end{array} \right. є рівносильними.

     3.  Якщо в системі рівнянь з одного рівняння виразити одну змінну, наприклад у, через іншу змінну, і одержаний вираз підставити замість у в друге рівняння системи, то одержимо систему, рівносильну даній.

    Наприклад: системи

\left\{ \begin{array}{l}x - y = 3,\\{x^2} + y = 2\end{array} \right.\;i\;\left\{ \begin{array}{l}y = x - 3,\\{x^2} + (x - 3) = 2\end{array} \right. є рівносильними.

     4. Якщо перше рівняння системи замінити сумою першого рівняння, помноженого на число α≠0, і другого рівняння, помноженого на число β≠0, а друге рівняння залишити без змін, то одержимо систему, рівносильну даній.

    Наприклад:

\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 10,\\3x - 2y = 5,\end{array} \right.\;\left\{ \begin{array}{l}(2x - 3y) \cdot 2 + (3x + 2y) \cdot 3 = 10 \cdot 2 + 5 \cdot 3,\\3x + 2y = 5\end{array} \right. – є рівносильними системами.