Логарифми. Логарифмічна функція. Логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи

Основна логарифмічна тотожність

     Означення логарифма можна коротко записати так:

{a^{{{\log }_a}b}} = b.

     Ця рівність справедлива при b>0, a>0, a≠0 і називається основною логарифмічною тотожністю.

     Наприклад: {2^{{{\log }_2}5}} = 5;\;{2^{ - {{\log }_2}5}} = {({2^{{{\log }_2}5}})^{ - 1}} = \frac{1}{5}.

Основні властивості логарифмів

     При виконанні перетворень виразів, які містять логарифми, при обчисленнях і при розв’язуванні рівнянь, нерівностей часто використовуються властивості логарифмів.

     Для будь-яких а>0, а≠1 і будь-яких додатних х і у виконуються такі рівності:

  1. {\log _a}1 = 0;
  2. {\log _a}a = 1;
  3. {\log _a}xy = {\log _a}x + {\log _a}y;
  4. {\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y;
  5. {\log _a}{x^p} = p{\log _a}x\;(p \in R);
  6. {\log _{{a^p}}}x = \frac{1}{p}{\log _a}x\;(p \in R);
  7. {\log _a}x = \frac{{{{\log }_b}x}}{{{{\log }_b}a}}\;(b > 0,b \ne 1).