Підготовка до ЗНО з математики. Алгебра.

     У курсі геометрії дотичною до кола називають пряму, яка лежить у площині кола і має з колом лише одну спільну точку. Таке означення дотичної не може бути перенесено на всі криві (парабола, синусоїда, гіпербола тощо).

     Наприклад, вісь OY має тільки одну спільну точку з графіком функції y=x³, проте її не можна вважати дотичною до кубічної параболи в точці 0.

     Пряма у=1 і синусоїда y=sin x мають безліч спільних точок, проте пряму у=1 вважають дотичною до синусоїди.

     Для введення означення дотичної до кривої розглянемо функцію y=f(x) і її графік – криву лінію. Нехай точки А і М належать графіку функції y=f(x), проведемо січну АМ.

     Зафіксуємо точку А. нехай точка М, рухаючись по кривій, наближається до точки А. при цьому січна АМ буде повертатися навколо точки А і в граничному положенні при наближенні точки М до точки А січна займе положення прямої АТ. Пряму АТ називають дотичною до даної кривої в точці А.

     Дотичною АТ до графіка функції y=f(x) в точці А називають граничне положення січної АМ, коли точка М, рухаючись по кривій, наближається до точки А.

     Слід мати на увазі, що не в усякій точці кривої можна провести до неї дотичну. На рис. зображено криву y=f(x), яка в точці А не має дотичної, бо якщо точка М буде наближатися до точки А по лівій частині кривої, то січна МА займе граничне положення AQ.

     Якщо точка N буде наближатися по правій частині кривої, то січна NA займе граничне положення АТ. Одержуємо дві різні прямі AQ і АТ. Це означає, що в точці А до даної кривої дотичної не існує.

     Поставимо задачу: провести дотичну до графіка функції y=f(x) у точці А(х₀; у₀).

     Дотична – це пряма, а положення прямої , яка проходить через точку А(х₀; у₀) визначається кутовим коефіцієнтом прямої k=tg α, де α – кут між прямою і додатним напрямом осі ОХ.

     Отже, провести дотичну до графіка означає знайти число k.

     Нехай у точці А(х₀; у₀) кривої y=f(x) існує дотична, визначимо кутовий коефіцієнт дотичної. Для цього:

1)               надамо аргументу х₀ приросту Δх, одержимо нове значення аргументу х₀+Δх;

2)               знайдемо відповідний приріст функції Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀);

3)               знайдемо відношення $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}$. Із трикутника АМК маємо $F(x) = {e^{{x^2}}}$. Оскільки $\angle MAK = \varphi$ – куту нахилу січної АМ із додатним напрямом осі ОХ, то $F(x) = {e^{{x^2}}}$;

4)               якщо Δх→0, то Δу→0, і точка М буде переміщуватися по кривій, наближаючись до точки А.

     При цьому січна АМ буде повертатися навколо точки А, а величина кута φ буде змінюватися зі зміною Δх. Граничним положенням січної АМ при Δх→0 буде дотична АТ, яка утворює з додатним напрямом осі ОХ деякий кут, величину якого позначимо через α.

     Отже, $F(x) = {e^{{x^2}}} - {x^2}$ - кутовий коефіцієнт дотичної.

     Порівнюючи одержані результати з означенням похідної, можна зробити висновок: значення похідної функції y=f(x) у точці х₀ дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х₀:

$f'({x_0}) = k = tg\;\alpha$.