Похідна функції, її геометричний та механічний зміст

Похідна складеної функції

     Похідна суми (різниці) двох функцій, кожна з яких має похідну, дорівнює сумі (різниці) похідних цих функцій:

(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x).

     Похідна добутку двох функцій, кожна з яких має похідну, дорівнює сумі добутків кожної функції на похідну другої функції:

(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).

     Похідну частки частки двох функцій f(x) і g(x), кожна з яких має похідну і g(x)≠0, знаходять за формулою

(\frac{{f(x)}}{{g(x)}})' = \frac{{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}}{{{g^2}(x)}}.

     Сталий множник можна виносити за знак похідної:

(cf(x))' = cf'(x).

     Наведені формули називають правилами диференціювання.

     Приклад 1. Нехай треба обчислити за заданим значенням х значення функції у, яку задано формулою y = \sqrt {9 - {x^2}} .

     Для цього спочатку треба обчислити за заданим значенням х значення u = g(x) = 9 - {x^2}, а потім за значенням u обчислити y = f(u) = \sqrt u .

     Отже, функція g ставить у відповідність числу х число u, а функція f – числу u число у. говорять, що у є складеною функцією з функцій g і f, і пишуть y=f(g(x)).

     Функцію g(x) називають внутрішньою функцією, або проміжною змінною, функцію f(u) – зовнішньою функцією. Отже, щоб обчислити значення складеної функції y=f(g(x)) у довільній точці х, спочатку обчислюють значення u внутрішньої функції g, а потім f(u).

     Приклад 2. Розглянемо функцію y = \sqrt {\cos x} . Вона є складеною з функцій u=cos x, y = \sqrt u , де cos х – внутрішня функція, \sqrt u  – зовнішня функція.

     Приклад 3. Запишіть складені функції f(g(x)) і g(f(x)), якщо f(x)=sin x, g(x) = {x^2}.

Розв’язання

f(g(x)) = \sin g(x) = \sin {x^2};

g(f(x)) = {(f(x))^2} = {(\sin x)^2} = {\sin ^2}x.

     Складена функція y=f(g(x)) має проміжну змінну u=g(x). Тому при знаходженні похідної складеної функції ми будемо вказувати, по якій змінні взято похідну, використовуючи при цьому спеціальні позначення:

y{'_x} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} - похідна функції у по аргументу х;

y{'_u} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta u \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta u}} - похідна функції у по аргументу u;

y{'_x} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta u}}{{\Delta x}} - похідна функції u по аргументу х.

     Теорема

     Похідну складеної функції y=f(g(x)) знаходять за формулою

y{'_x} = y{'_u} \cdot u{'_x},

де u=g(x), або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргументу.