Приклади розв'язування завдань

     Завдання. Знайдіть похідну функції $f(x) = 3{x^2} + 2$ у точці х₀.

Розв’язання

     Знайдемо приріст функції:

$\begin{array}{l}\Delta f = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0}) = 3{({x_0} + \Delta x)^2} + 2 - 3x_0^2 - 2 = \\ = 3x_0^2 + 6{x_0}\Delta x + 3\Delta {x^2} + 2 - 3x_0^2 - 2 = 6{x_0}\Delta x + 3\Delta {x^2} = \Delta x(6{x_0} + 3\Delta x)\end{array}$.

     Знайдемо відношення приросту функції до приросту аргументу:

$\frac{{\Delta f}}{{\Delta x}} = \frac{{\Delta x(6{x_0} + 3\Delta x)}}{{\Delta x}} = 6{x_0} + 3\Delta x$.

     Знайдемо похідну даної функції в точці х₀:

$f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta f}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} 6{x_0} + 3\Delta x = 6{x_0} + 3 \cdot 0 = 6{x_0}$.

Відповідь: 6х₀.