Приклади розв'язування завдань

     Завдання. Знайдіть похідну функції $y = {(3{x^3} - 1)^5}$.

Розв’язання

     $y = {(3{x^3} - 1)^5}$ - складена функція, у якої $y = {u^5}$, де $u = 3{x^3} - 1$, тоді

$\begin{array}{l}y{'_x} = y{'_u} \cdot u{'_x} = ({u^5})' \cdot (3{x^3} - 1)' = 5{u^4} \cdot 9{x^2} = 5{(3{x^3} - 1)^4} \cdot 9{x^2} = \\ = 45{x^2}{(3{x^3} - 1)^4}.\end{array}$

     При обчисленні похідної складеної функції введення допоміжної букви u для позначення проміжного аргументу не є обов’язковим. Тому похідну даної функції знаходять відразу як добуток похідної степеневої функції u⁵ на похідну від функції 3х³-1:

$y' = ({(3{x^3} - 1)^5})' = 5{(3{x^3} - 1)^4} \cdot (3{x^3} - 1)' = 5{(3{x^3} - 1)^4} \cdot 9{x^2} = 45{x^2}{(3{x^3} - 1)^4}.$.