ЛІНІЙНА ФУНКЦІЯ. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ, НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ СИСТЕМИ

     Лінійною називають функцію виду $y = kx + b$, де k і b – дійсні числа.

     Основні властивості лінійних функцій подано в таблиці.

     Лінійним рівнянням з однією змінною називають рівняння виду $ax = b$, де х – змінна, а і b – числа.

     Якщо а≠0, то рівняння $ax = b$ має єдиний корінь $\frac{b}{a}$.

    Наприклад: рівняння 5х=6 має корінь х=1,2.

     Якщо а=0, b≠0, то рівняння $ax = b$ не має коренів.

    Наприклад: рівняння 0х=5 не має коренів.

     Якщо а=0, b=0, то коренем рівняння $ax = b$ є будь-яке число.

     Деякі рівняння зводяться до розв’язування лінійних рівнянь. Розглянемо приклади.

    Приклад 1. Розв’яжіть рівняння $2 - \frac{{3x - 4}}{4} + \frac{{x + 18}}{5} = 0$.

Розв’язання

     Щоб позбутися знаменників дробів, помножимо кожний член рівняння на найменший спільний знаменник дробів, тобто на 20, і отримаємо:

$2 \cdot 20 - \frac{{3x - 4}}{4} \cdot \frac{{20}}{1} + \frac{{x + 18}}{5} \cdot \frac{{20}}{1} = 0 \cdot 20$,

40-5(3х-4)+4(х+18)=0.

     Розкриємо дужки:

40-15х+20+4х+72=0.

     Залишимо члени зі змінними в лівій частині рівняння, а члени без змінних перенесемо в праву частину (змінивши знаки членів на протилежні):

-15х+4х=-40-20-72.

     Зведемо подібні доданки:

-11х=-132, звідси х=-132:(-11), х=12.

     Відповідь: 12.

    Приклад 2. Розв’яжіть рівняння (2х-6)(х+2)=0.

Розв’язання

     Якщо добуток кількох множників дорівнює нулю, то хоча б один із множників дорівнює нулю. Скористаємося цим фактом при розв’язуванні даного рівняння.

     Ліва частина рівняння – добуток невідомих множників 2х-6 і х+2, а права частина – нуль. Щоб розв’язати це рівняння, досить прирівняти до нуля множники 2х-6 і х+2 та розв’язати отримані рівняння. Отже, 2х-6=0 або х+2=0, тоді 2х-6=0, 2х=6, х=6:2, х=3 або х+2=0, х=-2.

     Відповідь: 3, -2.

    Приклад 3. Розв’яжіть рівняння $|2x + 3| = 1$.

Розв’язання

     Згадаймо значення модуля:

$|x| = \left\{ \begin{array}{l}x,\;x \ge 0,\\ - x,\;x < 0.\end{array} \right.$

     Із точки зору геометрії |х| означає відстань від точки х, зображеної на координатній прямій, до початку координат (точки 0).

     1-й спосіб.

     Якщо 2х+3<0, то за означенням модуля –(2х+3)=1, тоді 2х+3=-1,  2х=-3-1,  2х=-4, х=-2.

     Якщо 2х+3≥0, то за означенням модуля 2х+3=1, тоді 2х+3=1, 2х=-3+1, 2х=-2, х=-1.

     Відповідь: -1; -2.

     2-й спосіб.

     Ураховуючи геометричний зміст модуля, рівність |2х+3|=1 означає, що відстань від точки 2х+3 до початку координат дорівнює числу 1, тобто

1) 2х+3=-1, 2х=-3-1, 2х=-4, х=-2;

2) 2х+3=1, 2х=-3+1, 2х=-2, х=-1.

     Відповідь: -1; -2.

     Нерівності виду $ax > b,\;ax < b,\;ax \ge b,\;ax \le b$ - деякі числа, а х – змінна, називають лінійними нерівностями з однією змінною.

     Розглянемо нерівність ax>b.

1. Якщо а>0, то $x > \frac{b}{a}$. Наприклад: 3х>6, х>2.

2. Якщо а<0, то $x < \frac{b}{a}$. Наприклад: -2х>4, х<-2.

3. Якщо а=0, b<0, то розв’язком нерівності є множина всіх дійсних чисел R. Наприклад: 0х>-5, $x \in R$.

4. Якщо а=0, b>0, то нерівність розв’язків не має. Наприклад: 0х>5 не має розв’язків.

     Розглянемо нерівність ax<b.

1. Якщо а>0, то $x < \frac{b}{a}$. Наприклад: $\frac{1}{2}x < 6,x < 12$.

2. Якщо а<0, то $x > \frac{b}{a}$. Наприклад: $- \frac{1}{2}x < 6,x >  - 12$.

3. Якщо а=0, b<0, то нерівність розв’язків не має. Наприклад: 0х<-5 розв’язків не має.

4. Якщо а=0, b>0, то розв’язком нерівності є множина всіх дійсних чисел R. Наприклад: нерівність 0х<5, $x \in R$.

     У рівнянні, крім невідомого, яке потрібно знайти, можуть бути введені й інші букви.

    Наприклад: ах=3-а, (n+2)x=2+(n+2).

     Розгляньмо рівняння ах=3-а, яке залежно від змінної а матиме вигляд:

2х=3-2, якщо а=2;

0х=3-0, якщо а=0;

3х=3-3, якщо а=3 і т.д.

     Змінну, яку потрібно знайти, будемо називати невідомою, іншу змінну – параметром.

     Розв’язати рівняння з параметром означає, що для кожного значення параметра треба встановити, чи має рівняння розв’язки, і якщо має, то знайти ці розв’язки, що, як правило, залежать від параметра. Розглянемо приклади.

    Приклад 4. Розв’яжіть рівняння х+5=а+6 відносно х.

Розв’язання

     Перетворивши рівняння, отримаємо: х=а+1.

     Рівняння має єдиний розв’язок незалежно від значення параметра.

     Отже, х=а+1.

     Відповідь: а+1.

    Приклад 5. Розв’яжіть рівняння (а-1)х=3 відносно х.

Розв’язання

     Якщо а-1≠0, тобто а≠1, то рівняння має єдиний корінь $x = \frac{3}{{a - 1}}$.

     Якщо а-1=0, тобто а=1, то рівняння набуває вигляду 0х=3 і не має коренів.

     Відповідь: при а≠1 дане рівняння має єдиний корінь $x = \frac{3}{{a - 1}}$, а при а=1 – коренів не має.

    Приклад 6. Розв’яжіть нерівність $x - \frac{{x + 3}}{2} \ge \frac{{2x - 1}}{4}$.

Розв’язання

     Помножимо обидві частини нерівності на 4:

$4x - \frac{{x + 3}}{2} \cdot \frac{4}{1} \ge \frac{{2x - 1}}{4} \cdot \frac{4}{1}$,

4х-2(х+3)≥2х-1.

     Розкриємо дужки в лівій частині: 4х-2х-6≥2х-1. Перенесемо члени нерівності зі змінними в ліву частину нерівності, а члени без змінних – у праву частину (змінивши знаки членів, які переносимо, на протилежні): 4х-2х-2х≥-1+6, звідси маємо 0х≥5. Отже, дана нерівність розв’язків не має.

     Відповідь: нерівність розв’язків немає.

     Системи рівнянь розв’язують кількома способами: графічним, підстановки, додавання. Розглянемо приклади.

     Приклад 7. Розв’яжіть систему рівнянь графічним способом 

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5,\\x - y = 1.\end{array} \right.$

Розв’язання

     Побудуємо графіки рівнянь х+у=5 або у=-х+5 (пряма, яка проходить через точки (0;5) і (5;0)) та х-у=1 або у=х-1 (пряма, яка проходить через точки (0;-1) та (1;0)).

     Ці графіки перетинаються в точці (3;2).

     Отже, розв’язком системи є пара (3;2).

     Відповідь: (3;2).

     Щоб розв’язати систему рівнянь графічним способом, треба:

1. виконати рівносильні перетворення системи так, щоб було зручно побудувати графіки рівнянь системи;

2. побудувати графіки;

3. знайти координати точок (точки) перетину побудованих ліній. Ці координати і є розв’язками (розв’язком) системи рівнянь.

    Зауваження. Графічний спосіб розв’язування систем рівнянь не є універсальним, оскільки не завжди розв’язком системи є пара цілих чисел. Іноді важко точно встановити координати точки перетину побудованих графіків функцій, можливо лише вказати наближенні значення. Тому, як правило, використовують алгебрагічні способи розв’язування систем рівнянь: спосіб підстановки, додавання.

    Приклад 8. Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки 

$\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 6,\\4x - 3y = 2.\end{array} \right.$

Розв’язання

     Із першого рівняння системи виразимо у через х: у=6-2х. одержаний вираз підставимо в друге рівняння системи:

4х-3(6-2х)=2, звідси 4х-18+6х=2; 10х=20; х=2.

     Одержане значення х підставляємо у вираз у=6-2х;

у=6-2·2.

     Отже, пара (2;2) – розв’язок даної системи.

     Відповідь: (2;2).

     Способом підстановки систему двох рівнянь із двома змінними розв’язують за таким порядком:

1. з одного рівняння системи виражаємо одну зі змінних через другу змінну і відомі величини;

2. знайдене значення підставляємо в друге рівняння системи, одержуємо рівняння відносно другої змінної;

3. розв’язуємо одержане рівняння і знаходимо значення цієї змінної;

4. підставляючи знайдене значення у вираз для першої змінної, одержуємо відповідне її значення;

5. записуємо відповідь.

    Зауваження. Спосіб підстановки, як правило, використовують, якщо коефіцієнт при одній зі змінних в одному з рівнянь системи дорівнює 1.

    Приклад 9. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання 

$\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 5,\\5x - 3y = 2.\end{array} \right.$

Розв’язання

     Помножимо почленно перше рівняння системи на 3, а друге – на 2 (це дає змогу при додаванні рівнянь позбавитися від змінної у):

$\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 5|3,\\5x - 3y = 2|2,\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}9x + 6y = 15,\\10x - 6y = 4.\end{array} \right.$

     Додавши почленно рівняння, одержуємо 19х=19, звідси х=1 (значення у знайдемо з першого рівняння системи: 3·1+2у=5, 2у=2, у=1, отже, (1;1) – розв’язок системи).

     Значення у можна знайти, якщо помножимо почленно перше рівняння на -5, а друге – на 3:

$\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 5| - 5,\\5x - 3y = 2|3,\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} - 15x - 10y = - 25,\\15x - 9y = 6.\end{array} \right.$

     Додавши почленно рівняння, одержуємо:

-19у=-19, у=1.

     Отже, пара (1;1) є розв’язком даної системи.

     Відповідь: (1;1).

     Розв’язування системи двох лінійних рівнянь із двома змінними способом алгебрагічного додавання виконують за таким порядком:

1) урівнюємо коефіцієнти при одній зі змінних шляхом по членного множення обох рівнянь на множники, підібрані відповідним чином;

2) додаючи (або віднімаючи) почленно рівняння системи, виключаємо одну зі змінних;

3) розв’язуємо одержане рівняння з однією змінною;

4) значення другої змінної можна знайти таким же способом (або підстановкою знайденого значення змінної в будь-яке із заданих рівнянь системи);

5) записуємо відповідь.

    Зауваження. Спосіб додавання, як правило, використовують, якщо коефіцієнти при одній зі змінних у рівнянні системи – протилежні числа.

    Приклад 10. Розв’яжіть систему нерівностей 

$\left\{ \begin{array}{l}5x + 6 \le x,\\3x + 12 \le x + 17.\end{array} \right.$

Розв’язання

     Маємо 

$\left\{ \begin{array}{l}5x - x \le - 6,\\3x - x \le 17 - 12;\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{l}4x \le - 6,\\2x \le 5;\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{l}x \le 1,5,\\x \le 2,5.\end{array} \right.$

     Зображаємо на числовій прямій множини розв’язків кожної з нерівностей

     Обидві нерівності справедливі при х≤-1,5. Відповідь можна записати у вигляді нерівності х≤-1,5 або у вигляді числового проміжку (-∞;-1,5].

     Відповідь: (-∞;-1,5].

    Приклад 11. Розв’яжіть систему нерівностей 

$\left\{ \begin{array}{l}17x - 2 > 12x - 1,\\3 - 9x < 1 - x.\end{array} \right.$

Розв’язання

     Маємо 

$\left\{ \begin{array}{l}17x - 12x > 2 - 1,\\ - 9x + x < - 3 + 1;\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{l}5x > 1,\\ - 8x > - 2;\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{5};\\x > \frac{1}{4}.\end{array} \right.$

     Використовуючи числову пряму, знайдемо спільні розв’язки нерівностей $x > \frac{1}{5}$ і $x > \frac{1}{4}$.

     Бачимо, що множина розв’язків системи складається із чисел, які задовольняють умові $x > \frac{1}{4}$, тобто є числовим проміжком $(\frac{1}{4}; + \infty )$.

     Відповідь: $(\frac{1}{4}; + \infty )$.

    Приклад 12. Розв’яжіть систему нерівностей 

$\left\{ \begin{array}{l}1 - 12x < 3x + 1,\\2 - 6x > 4 + 4x.\end{array} \right.$

Розв’язання

     Маємо 

$\left\{ \begin{array}{l} - 12x - 3x < - 1 + 1,\\ - 6x - 4x > 4 - 2;\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{l} - 15x < 0,\\ - 10x > 2;\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{l}x > 0,\\x < - 0,2.\end{array} \right.$

     Використовуючи числову пряму, знаходимо, що спільних розв’язків нерівності х>0 і х<-0,2 не мають. Отже, дана система розв’язків не має.

     Відповідь: розв’язків не має.

    Приклад 13. Розв’яжіть систему нерівностей 

$\left\{ \begin{array}{l}2(x + 1) + 5 > 3 - (1 - 2x),\\5(x + 2) - x > 3(x - 1) + x.\end{array} \right.$

Розв’язання

     Маємо 

$\left\{ \begin{array}{l}2x + 2 + 5 > 3 - 1 + 2x,\\5x + 10 - x > 3x - 3 + x;\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{l}2x - 2x > - 2 - 5 + 3 - 1,\\5x - x - 3x - x > - 10 - 3;\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{l}0x > - 5,\\0x > - 13.\end{array} \right.$

     Розв’язком першої і другої нерівностей є числова пряма (-∞;+∞). Отже, розв’язком даної системи є будь-яке число х.

     Відповідь: (-∞;+∞).

    Приклад 14. Розв’яжіть нерівність (х-3)(2-х)≥0.

Розв’язання

     Добуток двох множників невід’ємний, коли обидва множники або невід’ємні, або недодатні. Тому розв’язування даної нерівності зводиться до розв’язування двох систем нерівностей:

$\left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0,\\2 - x \ge 0\end{array} \right.\quad abo\quad \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \le 0,\\2 - x \le 0.\end{array} \right.$

     Тоді маємо:  

$\left\{ \begin{array}{l}x \ge 3,\\x \le 2\end{array} \right.\quad abo\quad \left\{ \begin{array}{l}x \le 3,\\x \ge 2.\end{array} \right.$

     Оскільки перша система не має розв’язків, а розв’язком другої системи є проміжок [2;3], то дана система має множину розв’язків – [2;3].

     Відповідь: [2;3].

    Приклад 15. Розв’яжіть нерівність $\frac{{x + 1}}{{x - 1}} < 0$.

Розв’язання

     Дріб від’ємний, коли значення чисельника і знаменника мають протилежні знаки, тому розв’язування даної нерівності зводиться до розв’язування двох систем нерівностей:

$\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0,\\x - 1 < 0\end{array} \right.\quad abo\quad \left\{ \begin{array}{l}x + 1 < 0,\\x - 1 > 0.\end{array} \right.$

     Тоді маємо:  

$\left\{ \begin{array}{l}x > - 1,\\x < 1\end{array} \right.\quad abo\quad \left\{ \begin{array}{l}x < - 1,\\x > 1.\end{array} \right.$

     Оскільки друга система не має розв’язків, а розв’язком першої системи є проміжок (-1;1), то дана система має множину розв’язків – (-1;1).

     Відповідь: (-1;1).