КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ, НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ СИСТЕМИ

     Квадратичною називають функцію виду $y = a{x^2} + bx + c$, де а, b, с – дійсні числа, причому а≠0.

     Основні властивості квадратичних функцій подано в таблиці.

     Квадратним називають рівняння виду $a{x^2} + bx + c = 0$, де х – змінна; а, b, с – числа, причому а≠0. Число а називають першим (старшим) коефіцієнтом, b – другим коефіцієнтом, с – вільним членом.

     Квадратне рівняння, у якого перший коефіцієнт дорівнює числу 1, називають зведеним квадратним рівнянням.

     Квадратне рівняння, у якого хоча б один з коефіцієнтів – b або с – дорівнює нулю, називають неповним квадратним рівнянням.

Неповне квадратне рівняння виду $a{x^2} + bx = 0$

     Рівняння виду  завжди має два корені: 0 і $- \frac{b}{a}$. Такі рівняння, як правило розв’язують розкладанням його лівої частини на множники.

    Наприклад: $15{x^2} - 15x = 0,\;5x(x - 3) = 0,\;{x_1} = 0,\;{x_2} = 3.$.

Неповне квадратне рівняння виду $a{x^2} + c = 0$

     Якщо $- \frac{c}{a} > 0$, то рівняння виду $a{x^2} + c = 0$ має два корені: $- \sqrt { - \frac{c}{a}}$ та $\sqrt { - \frac{c}{a}}$.

    Наприклад: $4{x^2} - 9 = 0;\;4{x^2} = 9;\;{x^2} = \frac{9}{4};\;{x_1} = \sqrt {\frac{9}{4}} ;\;{x_2} = - \sqrt {\frac{9}{4}}$, тобто ${x_1} = 1\frac{1}{2}$ і ${x_2} = - 1\frac{1}{2}$.

     Якщо $- \frac{c}{a} < 0$, то рівняння виду  не має коренів.

    Наприклад: $4{x^2} + 9 = 0;\;4{x^2} = - 9$, коренів немає.

     Якщо $- \frac{c}{a} = 0$, то рівняння виду  має один корінь: х=0.

     Вираз $D = {b^2} -ac$ називають дискримінантом квадратного рівняння $a{x^2} + bx + c = 0$.

     Якщо D>0, то квадратне рівняння має два корені; якщо D=0, то один корінь; якщо D<0, то квадратне рівняння коренів не має.

     Корені квадратного рівняння $a{x^2} + bx + c = 0$ при D≥0 знаходять за формулою

${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$.

     Для квадратного рівняння виду $a{x^2} + 2kx + c = 0$ формула коренів має вигляд

$x = \frac{{ - k \pm \sqrt {{k^2} - 4ac} }}{{2a}}$.

     Для зведеного квадратного рівняння виду ${x^2} + px + q = 0$ формула коренів має вигляд

${x_{1,2}} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt {\frac{{{p^2}}}{4} - q}$.

     Квадратним тричленом називають многочлен виду $a{x^2} + bx + c$, де х – змінна; а, b, с – деякі дійсні числа, причому а≠0.

    Наприклад: вирази $3{x^2} - x + 5;\;{x^2} - 3x + 4;\;{x^2} + 1$ – квадратні тричлени.

     Коренем квадратного тричлена називають значення змінної, при якому значення цього тричлена дорівнює нулю.

    Наприклад: коренем тричлена $3{x^2} - 2x - 5$ є число -1, бо  при х=-1  маємо $3 \cdot {( - 1)^2} - 2 \cdot ( - 1) - 5 = 0$.

     Квадратний тричлен  має не більше двох коренів:

1. якщо D<0, то квадратний тричлен не має коренів;
2. якщо D=0, то квадратний тричлен має два рівних корені ${x_1} = {x_2} = - \frac{b}{{2a}}$;
3. якщо D>0, то квадратний тричлен має два різних корені ${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$.

     Число D називають дискримінантом квадратного тричлена.

    Теорема Вієта

     Якщо ${x_1},{x_2}$ - корені квадратного тричлена $a{x^2} + bx + c$, то виконуються рівності

${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a};\;{x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a}$.

     Якщо $D = {b^2} - 4ac > 0$, то виконується рівність

$a{x^2} + bx + c = a(x - {x_1})(x - {x_2})$,

де ${x_1},{x_2}$ - корені квадратного тричлена.

Доведення

     Згідно з теоремою Вієта маємо ${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a},{x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a}$.

     Тоді $a{x^2} + bx + c = a({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}) = a({x^2} - ({x_1} + {x_2})x + {x_1}{x_2}) =$

$= a({x^2} - {x_1}x - {x_2}x + {x_1}{x_2}) = a(x(x - {x_1}) - {x_2}(x - {x_1})) = a(x - {x_1})(x - {x_2})$.

     Якщо $D = {b^2} - 4ac = 0$, то виконується рівність

$a{x^2} + bx + c = a{(x - {x_1})^2}$.

     Якщо $D = {b^2} - 4ac < 0$, то квадратний тричлен не можна розкласти на лінійні множники у множині дійсних чисел.

     Нерівність, лівою частиною якої є квадратний тричлен $a{x^2} + bx + c$, де а≠0; b, с – дані числа, а правою – нуль, називають квадратною.

    Наприклад: нерівності ${x^2} - 5x + 3 < 0;\;{x^2} - 3x + 2 \le 0;\;2{x^2} - 3x + 2 \ge 0;\;3{x^2} - 2x + 1 > 0$ є квадратними, або нерівностями другого степеня з однією змінною.

     Розв’язати нерівність другого степеня з однією змінною означає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає. Під час розв’язування квадратної нерівності знаходять проміжки, у яких відповідна квадратична функція набуває додатних, від’ємних, недодатних, невід’ємних значень.

   Приклад 1. Розв’яжіть нерівність ${x^2} + 2x - 48 < 0$.

Розв’язання

     Графік функції $y = {x^2} + 2x - 48$ - парабола, вітки якої напрямлені вгору. Знайдемо нулі функції, для цього розв’яжемо рівняння . Корені цього рівняння дорівнюють

${x_{1,2}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {4 + 192} }}{2} = \frac{{ - 2 \pm 14}}{2};\;{x_1} = 6;\;{x_2} = - 8$.

     Отже, парабола перетинає вісь х у двох точка, абсциси яких дорівнюють -8 і 6.

     На рис. видно, що функція набуває від’ємних значень, коли х належить проміжку  (-8;6). Значить, розв’язком нерівності ${x^2} + 2x - 48 < 0$ є числовий проміжок (-8;6).

     Відповідь: (-8;6).

     На рис. видно, що:

1. розв’язками нерівності ${x^2} + 2x - 48 \le 0$ є всі числа проміжка [-8;6];

2. розв’язками нерівності ${x^2} + 2x - 48 > 0$ є всі числа проміжків (-∞;-8) або (6;+∞), тобто об’єднання проміжків $( - \infty ; - 8) \cup (6; + \infty )$;

3. розв’язками  нерівності ${x^2} + 2x - 48 \ge 0$ є об’єднання проміжків $( - \infty ; - 8] \cup [6; + \infty )$.

    Приклад 2. Розв’яжіть нерівність $25{x^2} + 30x + 9 > 0$.

Розв’язання

     Розглянемо функцію $y = 25{x^2} + 30x + 9 = {(5x + 3)^2}$. Її графік – парабола, вітки якої напрямлені догори.

     Розв’яжемо рівняння ${(5x + 3)^2} = 0$, звідси х=-0,6. Рівняння має єдиний корінь. Отже, парабола дотикається осі ОХ. На рис. видно, що функція набуває додатних значень при будь-яких х, крім -0,6.

     Відповідь: $( - \infty ; - 0,6) \cup ( - 0,6; + \infty )$.

     Із рис. випливає також, що:

1. розв’язком нерівності $25{x^2} + 30x + 9 \ge 0$ є всі дійсні числа;

2. нерівність $25{x^2} + 30x + 9 \le 0$ має один розв’язок: х=-0,6;

3. нерівність $25{x^2} + 30x + 9 < 0$ розв’язків не має.

    Приклад 3. Розв’яжіть нерівність $- {x^2} + x - 1 < 0$.

Розв’язання

     Графік функції $y = - {x^2} + x - 1$ - парабола, вітки якої напрямлені вниз. Рівняння  дійсних коренів не має, тому парабола не перетинає вісь ОХ. Отже, вона розташована нижче осі ОХ.

     Це означає, що значення квадратичної функції при всіх х – від’ємні, тобто нерівність $- {x^2} + x - 1 < 0$ виконується при всіх дійсних числах (-∞;+∞).

     Відповідь: (-∞;+∞).

     Із рис. видно також, що:

1. розв’язками нерівності $- {x^2} + x - 1 \le 0$ є множина всіх дійсних чисел R;

2. $- {x^2} + x - 1 > 0$ та $- {x^2} + x - 1 \ge 0$ розв’язків не мають.

     Із розглянутих прикладів можна зробити висновок, що для розв’язування квадратних нерівностей за допомогою графіків треба:

1. визначити напрям віток параболи за значенням першого коефіцієнта квадратичної функції $y = a{x^2} + bx + c$ (якщо а>0, то вітки параболи напрямлені догори, якщо а<0, то вниз);

2. знайти дійсні корені квадратного рівняння $a{x^2} + bx + c = 0$ або встановити, що їх немає;

3. схематично побудувати графік квадратичної функції, використовуючи точки перетину (точки дотику) із віссю ОХ, якщо вони є;

4. за графіком визначити проміжки, на яких функція набуває значень, при яких виконується задана нерівність.

     Квадратні нерівності можна розв’язувати методом інтервалів.

     Розглянемо розв’язування квадратичних нерівностей методом інтервалів на прикладі.

    Приклад 1. Знайдіть, при яких значення х квадратний тричлен ${x^2} - 5x + 6$ набуває додатних значень, а при яких – від’ємних.

Розв’язання

     Розкладемо квадратний тричлен ${x^2} - 5x + 6$ на множники

${x^2} - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

     Тоді х=2 і х=3 поділяють числову пряму на три проміжки: (-∞;2); (2;3); (3;+∞).

     Вираз (х-2)(х-3) є добутком двох множників. Знак кожного з цих множників та їх добутку подамо у вигляді таблиці.