РАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ, НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ СИСТЕМИ
Раціональні рівняння, нерівності та їх системи
Сайт: | Підготовка до ЗНО - Освітній портал "Академія" |
Курс: | Підготовка до ЗНО з математики. Алгебра. |
Книга: | РАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ, НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ СИСТЕМИ |
Надруковано: | Гість |
Дата: | Sunday 8 September 2024 2:40 AM |
1. Рівняння зі змінною в знаменнику
Рівняння є рівносильним системі рівнянь
Приклад 1. Розв’яжіть рівняння .
Розв’язання
Отже, х=-3.
Відповідь: -3.
2. Раціональні рівняння
Рівняння f(x)=g(x) називається раціональним, якщо f(x) і g(x) – раціональні вирази.
Щоб розв’язати раціональне рівняння, потрібно:
1. знайти спільний знаменник усіх дробів, що входять до рівняння;
2. замінити дане рівняння цілим, помноживши обидві його частини на спільний знаменник;
3. розв’язати одержане ціле рівняння;
4. виключити з коренів цілого рівняння ті, які перетворюють на нуль спільний знаменник.
Приклад 2. Розв’яжіть рівняння .
Розв’язання
Отже, х=2.
Відповідь: 2.
3. Дробові нерівності
Нерівність рівносильна двом системам
Нерівність рівносильна двом системам
Нерівність рівносильна двом системам
Нерівність рівносильна двом системам
Приклад 3. Розв’яжіть нерівність .
Розв’язання
Розв’язування раціональних нерівностей методом інтервалів
Щоб розв’язати нерівність f(x)>0 (f(x)<0, f(x)≥0, f(x)≤0), де , треба:
1. зобразити числа на числовій прямій (ці числа розташовані в порядку зростання і поділяють числову пряму на декілька проміжків, на яких функція f(x) зберігає свій знак, тобто якщо
- сусідні точки, то для
функція зберігає знак);
2. визначити знаки функції f(x) на кожному з проміжків;
3. записати відповідь, ураховуючи знак нерівності, даної в умові.
Приклад 4. Розв’яжіть нерівність .
Розв’язання
Позначимо на числовій прямій точки: х=-4, х=-2, х=1, х=3 та знайдемо знак функції на кожному проміжку.
4. Метод інтервалів (узагальнений)
Використовується для розв’язування нерівностей f(x)>0 (f(x)<0, f(x)≥0, f(x)≤0). Метод ґрунтується на тому, що неперервна на проміжку функція може змінювати знак тільки в тих точках, де її значення дорівнює нулю (але може й не змінювати).
Щоб розв’язати нерівність методом інтервалів, потрібно:
1. знайти область визначення функції y=f(x);
2. знайти значення х, при яких функція дорівнює нулю (знайти всі нулі функції): f(x)=0;
3. розбити область визначення на проміжки, у яких кожен із кінців є коренем рівняння f(x)=0 або кінцевою точкою проміжку визначення функції y=f(x);
4. визначити знак f(x) на кожному з утворених проміжків;
5. об’єднати проміжки, на яких функція f(x) задовольняє нерівність, у множину розв’язків.
Приклад 5. Розв’яжіть нерівність .
Розв’язання
Розкладемо чисельник і знаменник дробу на множники й одержимо
Позначимо на силовій прямій точки 3; -1; 1; -4, у яких чисельник або знаменник дробу перетворюється на нуль. Ці точки поділяють числову пряму на п’ять проміжків. При х>3 усі множники чисельника і знаменника дробу додатні, то дріб є додатним.
При переході від одного проміжку до іншого дріб змінює знак, тому можна розставити знаки. Значення х=-1, х=3 задовольняють дану нерівність, а при х=1, х=-4 дріб не має змісту. Таким чином дана нерівність має розв’язок .