Показникова функція. Показникові рівняння, нерівності та їх системи

Показникова функція $y = {a^x},\;a > 0,\;a \ne 1$

     Функцію виду $y = {a^x},\;a > 0,\;a \ne 1$ називають показниковою.

     Основні властивості

1. Область визначення – множина всіх дійсних чисел R.
2. Область значень – (0;+∞).
3. Якщо х=0, то у=1.
4. Функція не є ні парною, ні не парною.
5. Якщо а>1, тоді функція $y = {a^x}$ зростає; якщо 0<а<1, то функція спадає.
6. При а>1 і х>1, ${a^x} > 1$; при х<0, ${a^x} < 1$. При 0<а<1 ${a^x} < 1$, якщо х>0; ${a^x} > 1$ при х<0.
7. Графік функції $y = {a^x}$

     Показниковими називаються рівняння, в яких невідоме міститься в показнику степеня при сталих основах.

     Наприклад: рівняння ${2^x} + 3 = 0;\;{3^{x + 1}} - {3^x} - 1 = 0$ є показниковими.

      Найпростішим показниковими рівнянням є рівняння ${a^x} = b,a > 0,a \ne 1$.

     Оскільки множина значень функції $y = {a^x}$ - множина додатних чисел, то рівняння ${a^x} = b$:

1)               має один корінь, якщо b>0;

2)               не має коренів, якщо b≤0.

    Для того, щоб розв’язати рівняння ${a^x} = b,a > 0,a \ne 1,\;b > 0$, треба b подати у вигляді $b = {a^c}$, тобі будемо мати ${a^x} = {a^c}$, звідси х=с.

     Розглянемо приклади.

     Приклад 1. Розв’яжіть рівняння .${5^x} = 125$

Розв’язання

     Оскільки ${5^x} = 125$, а $125 = {5^3}$, то маємо ${5^x} = {5^3}$, звідси х=3.

     Відповідь: 3.

     Приклад 2. Розв’яжіть рівняння ${(\frac{1}{7})^x} = 49$.

Розв’язання

     Оскільки $49 = {7^2} = {(\frac{1}{7})^{ - 2}}$, то маємо ${(\frac{1}{7})^x} = {(\frac{1}{7})^{ - 2}}$, звідси х=-2.

     Відповідь: -2.

     Приклад 3. Розв’яжіть рівняння ${15^{{x^2} - 5x + 6}} = 1$.

Розв’язання

     Оскільки ${15^0} = 1$, то ${15^{{x^2} - 5x + 6}} = {15^0},\;{x^2} - 5x + 6 = 0$, звідси х₁=2, х₂=3.

     Відповідь: 2; 3.

     І спосіб. Приведення рівняння до спільної основи, тобто до рівняння ${a^{f(x)}} = {a^{g(x)}}$.

     Як відомо, показникова функція $y = {a^x} > 0,a \ne 0$ монотонна, тому кожне своє значення вона приймає тільки при одному значенні аргументу. Із рівності  випливає, що f(x)=g(x).

     ІІ спосіб. Винесення спільного множника за дужки.

     ІІІ спосіб. Приведення рівняння до квадратного.

     IV спосіб. Графічний спосіб роз взування показникових рівнянь.

     Приклад 1. Розв’яжіть графічно рівняння ${(\frac{1}{3})^x} = x + 1$.

Розв’язання

     Побудуємо графіки функцій $y = {(\frac{1}{3})^x},\;y = x + 1$ в одній системі координат. Графіки функцій $y = {(\frac{1}{3})^x}$ і $y = x + 1$ перетинаються в точці, абсциса якої х=0.

     Відповідь: 0.

     Зауваження. Корінь цього рівняння легко знайти усно, однак треба пам’ятати, що в цьому випадку необхідно доводити той факт, що знайдений корінь єдиний.

     При розв’язуванні систем показникових рівнянь використовуються традиційні способи розв’язування показникових рівнянь і знайомі Вам способи розв’язування систем рівнянь.

     Приклад 1. Розв’яжіть систему рівнянь 

$\left\{ \begin{array}{l}{3^x} - {7^y} = 2,\\{3^x} + {7^y} = 16.\end{array} \right.$

Розв’язання

     Зробимо заміну ${3^x} = a,\;{7^y} = b$, тоді матимемо систему: 

$\left\{ \begin{array}{l}a - b = 2,\\a + b = 16.\end{array} \right.$

     Розв’яжемо систему рівнянь: 

$\left\{ \begin{array}{l}a - b = 2,\\a + b = 16;\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{l}2a = 18,\\ - 2b = - 14;\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{l}a = 9,\\b = 7.\end{array} \right.$

     Отже, 

$\left\{ \begin{array}{l}{3^x} = 9,\\{7^y} = 7;\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{l}x = 2,\\y = 1.\end{array} \right.$

Відповідь: (2;1).

     Розв’язування показникових нерівностей часто зводяться до розв’язування нерівностей ${a^x} > {a^b}\;({a^x} \ge {a^b})$ або ${a^x} < {a^b}\;({a^x} \le {a^b})$. Ці нерівності розв’язують, використовуючи монотонність (зростання, спадання) показникової функції.

     Розглянемо приклади.

     Приклад 1. Розв’яжіть нерівність ${3^x} < 27$.

Розв’язання

     Запишемо дану нерівність у вигляді ${3^x} = {3^3}$. Оскільки 3>1, то функція $y = {3^t}$ є зростаючою. Отже, при х<3 виконується нерівність ${3^x} < 27$.

Відповідь: (-∞;3).

     Приклад 2. Розв’яжіть нерівність ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > \sqrt 8$.

Розв’язання

     Запишемо дану нерівність у вигляді ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > {2^{\frac{3}{2}}};\;{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - \frac{3}{2}}}$. Оскільки $y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t}$ – спадна функція, то $x < - \frac{3}{2}$.

Відповідь: $( - \infty ; - \frac{3}{2})$.