Друкувати книгуДрукувати книгу

Показникова функція. Показникові рівняння, нерівності та їх системи

Показникова функція. Показникові рівняння, нерівності та їх системи

Сайт: Підготовка до ЗНО - Освітній портал "Академія"
Курс: Підготовка до ЗНО з математики. Алгебра.
Книга: Показникова функція. Показникові рівняння, нерівності та їх системи
Надруковано: Гість
Дата: Saturday 8 August 2020 12:12 AM

1. Показникова функція

Показникова функція y = {a^x},\;a > 0,\;a \ne 1

     Функцію виду y = {a^x},\;a > 0,\;a \ne 1 називають показниковою.

     Основні властивості

  1. Область визначення – множина всіх дійсних чисел R.
  2. Область значень – (0;+∞).
  3. Якщо х=0, то у=1.
  4. Функція не є ні парною, ні не парною.
  5. Якщо а>1, тоді функція y = {a^x} зростає; якщо 0<а<1, то функція спадає.
  6. При а>1 і х>1, {a^x} > 1; при х<0, {a^x} < 1. При 0<а<1 {a^x} < 1, якщо х>0; {a^x} > 1 при х<0.
  7. Графік функції y = {a^x}

2. Показникові рівняння

     Показниковими називаються рівняння, в яких невідоме міститься в показнику степеня при сталих основах.

     Наприклад: рівняння {2^x} + 3 = 0;\;{3^{x + 1}} - {3^x} - 1 = 0 є показниковими.

      Найпростішим показниковими рівнянням є рівняння {a^x} = b,a > 0,a \ne 1.

     Оскільки множина значень функції y = {a^x} - множина додатних чисел, то рівняння {a^x} = b:

1)               має один корінь, якщо b>0;

2)               не має коренів, якщо b≤0.

    Для того, щоб розв’язати рівняння {a^x} = b,a > 0,a \ne 1,\;b > 0, треба b подати у вигляді b = {a^c}, тобі будемо мати {a^x} = {a^c}, звідси х=с.

     Розглянемо приклади.

     Приклад 1. Розв’яжіть рівняння .{5^x} = 125

Розв’язання

     Оскільки {5^x} = 125, а 125 = {5^3}, то маємо {5^x} = {5^3}, звідси х=3.

     Відповідь: 3.

     Приклад 2. Розв’яжіть рівняння {(\frac{1}{7})^x} = 49.

Розв’язання

     Оскільки 49 = {7^2} = {(\frac{1}{7})^{ - 2}}, то маємо {(\frac{1}{7})^x} = {(\frac{1}{7})^{ - 2}}, звідси х=-2.

     Відповідь: -2.

     Приклад 3. Розв’яжіть рівняння {15^{{x^2} - 5x + 6}} = 1.

Розв’язання

     Оскільки {15^0} = 1, то {15^{{x^2} - 5x + 6}} = {15^0},\;{x^2} - 5x + 6 = 0, звідси х1=2, х2=3.

     Відповідь: 2; 3.

3. Деякі способи розв’язування показникових рівнянь

     І спосіб. Приведення рівняння до спільної основи, тобто до рівняння {a^{f(x)}} = {a^{g(x)}}.

     Як відомо, показникова функція y = {a^x} > 0,a \ne 0 монотонна, тому кожне своє значення вона приймає тільки при одному значенні аргументу. Із рівності  випливає, що f(x)=g(x).

     ІІ спосіб. Винесення спільного множника за дужки.

     ІІІ спосіб. Приведення рівняння до квадратного.

     IV спосіб. Графічний спосіб роз взування показникових рівнянь.

     Приклад 1. Розв’яжіть графічно рівняння {(\frac{1}{3})^x} = x + 1.

Розв’язання

     Побудуємо графіки функцій y = {(\frac{1}{3})^x},\;y = x + 1 в одній системі координат. Графіки функцій y = {(\frac{1}{3})^x} і y = x + 1 перетинаються в точці, абсциса якої х=0.

     Відповідь: 0.

     Зауваження. Корінь цього рівняння легко знайти усно, однак треба пам’ятати, що в цьому випадку необхідно доводити той факт, що знайдений корінь єдиний.

4. Системи показникових рівнянь

     При розв’язуванні систем показникових рівнянь використовуються традиційні способи розв’язування показникових рівнянь і знайомі Вам способи розв’язування систем рівнянь.

     Приклад 1. Розв’яжіть систему рівнянь 

\left\{ \begin{array}{l}{3^x} - {7^y} = 2,\\{3^x} + {7^y} = 16.\end{array} \right.

Розв’язання

     Зробимо заміну {3^x} = a,\;{7^y} = b, тоді матимемо систему: 

\left\{ \begin{array}{l}a - b = 2,\\a + b = 16.\end{array} \right.

     Розв’яжемо систему рівнянь: 

\left\{ \begin{array}{l}a - b = 2,\\a + b = 16;\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{l}2a = 18,\\ - 2b = - 14;\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{l}a = 9,\\b = 7.\end{array} \right.

     Отже, 

\left\{ \begin{array}{l}{3^x} = 9,\\{7^y} = 7;\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{l}x = 2,\\y = 1.\end{array} \right.

Відповідь: (2;1).

5. Показникові нерівності

     Розв’язування показникових нерівностей часто зводяться до розв’язування нерівностей {a^x} > {a^b}\;({a^x} \ge {a^b}) або {a^x} < {a^b}\;({a^x} \le {a^b}). Ці нерівності розв’язують, використовуючи монотонність (зростання, спадання) показникової функції.

     Розглянемо приклади.

     Приклад 1. Розв’яжіть нерівність {3^x} < 27.

Розв’язання

     Запишемо дану нерівність у вигляді {3^x} = {3^3}. Оскільки 3>1, то функція y = {3^t} є зростаючою. Отже, при х<3 виконується нерівність {3^x} < 27.

Відповідь: (-∞;3).

     Приклад 2. Розв’яжіть нерівність {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > \sqrt 8 .

Розв’язання

     Запишемо дану нерівність у вигляді {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > {2^{\frac{3}{2}}};\;{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - \frac{3}{2}}}. Оскільки y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} – спадна функція, то x < - \frac{3}{2}.

Відповідь: ( - \infty ; - \frac{3}{2}).