Приклади розв'язування завдань

     Задача. Скількома способами можна розставити на майданчику 6 волейболістів?

Розв’язання

     Число способів розташування на майданчику шести волейболістів дорівнює числу перестановок із шести елементів:

${P_6} = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$.

Відповідь: 720.

     Задача. Скільки можна провести різних площин через 5 точок простору, якщо ніякі чотири з них не лежать в одній площині?

Розв’язання

     Площина визначається трьома точками, тому всіх площин буде

$C_5^3 = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3}}{{1 \cdot 2 \cdot 3}} = 10$.

Відповідь: 10.

     Задача. 10 учнів обмінялися фотографіями. Скільки всього було роздано фотографій?

Розв’язання

     Кількість фотографій дорівнює:

$C_{10}^2 = 10 \cdot 9 = 90$.

Відповідь: 90.

     Задача. На полиці стоять 8 підручників. Скількома способами можна поставити ці книжки на полицю так, щоб підручники з алгебри, геометрії і фізики стояли поруч?

Розв’язання

     Будемо розглядати підручники з алгебри, геометрії і фізики як одну книжку. Тоді на полиці треба розмістити не 8 книжок, а 6. Це можна зробити  способами. Підручники з алгебри, геометрії і фізики можна розмістити  способами. Використовуючи правило множення матимемо, що шукана кількість способів дорівнює

${P_6} \cdot {P_3} = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 36 \cdot 120 = 4320$.

Відповідь: 4320.

     Задача. У кошику лежать 8 різних яблук і 4 різні груші. Треба вибрати 3 яблука і 2 груші. Скількома способами це можна зробити?

Розв’язання

     Вибрати 3 яблука з 8 можна $C_8^3$ способами. Вибрати 2 груші із 4 можна $C_4^2$ способами. Тоді за правилом добутку вибір потрібних фруктів можна знайти $C_8^3 \cdot C_4^2$ способами.

$C_8^3 \cdot C_4^2 = \frac{{8! \cdot 4!}}{{3! \cdot 5! \cdot 2! \cdot 2!}} = \frac{{5! \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 3! \cdot 4}}{{3! \cdot 5! \cdot 2 \cdot 2}} = 6 \cdot 7 \cdot 8 = 336$.

Відповідь: 336.

     Завдання. Піднесіть до шостого степеня х-2у.

Розв’язання

     Покладемо а=х, b=-2у, тоді отримаємо

$\begin{array}{l}{(a + b)^6} = {(x - 2y)^6} = C_6^0{x^6} + C_6^1{x^5}( - 2y) + C_6^2{x^4}{( - 2y)^2} + + C_6^3{x^3}{( - 2y)^3} + \\ + C_6^4{x^2}{( - 2y)^4} + C_6^5x{( - 2y)^5} + C_6^6{( - 2y)^6} = 1 \cdot {x^6} + 6{x^5}( - 2y) + 15{x^4} \cdot 4{y^2} + \\ + 20{x^3}( - 8{y^3}) + 15{x^2} \cdot 16{y^2} + 6x( - 32{y^5}) + 1 \cdot 64{y^6} = {x^6} - 12{x^5}y + 60{x^4}{y^2} - \\ - 160{x^3}{y^3} + 240{x^2}{y^4} - 192x{y^5} + 64{y^6}.\end{array}$

Відповідь: ${x^6} - 12{x^5}y + 60{x^4}{y^2} - 160{x^3}{y^3} + 240{x^2}{y^4} - 192x{y^5} + 64{y^6}$.

     Завдання. Знайдіть 13-й член розкладу бінома ${(\sqrt[3]{3} + \sqrt 2 )^{15}}$.

Розв’язання

     Згідно з формулою загального члена розкладу бінома маємо

${T_{13}} = {N_{12 + 1}} = C_{15}^3{(\sqrt[3]{3})^3}{(\sqrt 2 )^{12}} = C_{15}^33 \cdot {2^6} = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13}}{{1 \cdot 2 \cdot 3}} \cdot 3 \cdot {2^6} = 87360$.

     Отже, T₁₃=87 360.

Відповідь: 87 360.

     Завдання. Знайдіть номер члена розкладу бінома ${(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{x})^{16}}$, який не містить х.

Розв’язання

     Для загального члена розкладу маємо

${T_{m + 1}} = C_{16}^m{(\sqrt[3]{x})^{16 - m}} \cdot {(\frac{1}{x})^m} = C_{16}^m{x^{\frac{{16 - m}}{3}}}{x^{ - m}} = C_{16}^m{x^{\frac{{16 - 4m}}{3}}}$.

     Член розкладу не залежить від х. Це означає, що показник степеня х дорівнює 0, тобто $\frac{{16 - 4m}}{3} = 0$. Звідси m=4. Отже, п’ятий член даного розкладу не залежить від х.

Відповідь: п’ятий член.